已知 $F_1,F_2$ 分别为椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左，右焦点，点 $P(\dfrac{2\sqrt{6}}{3},1)$ 在椭圆 $C$ 上，且 $\triangle F_1PF_2$ 的垂心为 $H(\dfrac{2\sqrt{6}}{3},-\dfrac{5}{3})$．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛福建省预赛
【标注】
-
求椭圆 $C$ 的方程．标注答案$\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1$解析设 $F_1(-c,0),F_2(c,0)$．由 $\triangle F_1PF_2$ 的垂心为 $H(\dfrac{2\sqrt{6}}{3},-\dfrac{5}{3})$，得 $F_1H\bot PF_2$．所以 $k_{F_1H}\cdot k_{PF_2}=\dfrac{-\dfrac{5}{3}}{\dfrac{2\sqrt{6}}{3}+c}\cdot\dfrac{1}{\dfrac{2\sqrt{6}}{3}-c}=-1,\dfrac{24}{9}-c^2=\dfrac{5}{3}$，解得 $c^2=1$．由点 $P(\dfrac{2\sqrt{6}}{3},1)$ 在椭圆 $C$ 上，得 $\dfrac{24}{9a^2}+\dfrac{1}{北^2}=1$．结合 $a^2-b^2=c^2=1$，解得 $a^2=4,b^2=3$．所以椭圆 $C$ 的方程为 $\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1$．
-
设 $A$ 为椭圆 $C$ 的左顶点，过点 $F_2$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $D,E$ 两点．记直线 $AD,AE$ 的斜率分别为 $k_1,k_2$，若 $k_1+k_2=-\dfrac{1}{2}$，求直线 $l$ 的方程．标注答案$y=2(x-1)$解析由（1）知 $A(-2,0),F_2(1,0)$．若 $l$ 的斜率不存在，则由对称性，知 $k_1+k_2=0$，不符合要求．若 $l$ 的斜率存在，设为 $k$，则 $l$ 的方程为 $y=k(x-1)$．由 $\begin{cases}
y=k(x-1)\\
\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1\\
\end{cases}$ 得 $(4k^2+3)x^2-8k^2x+4k^2-12=0$．①
设 $D(x_1,y_1),E(x_2,y_2)$，则 $x_1+x_2=\dfrac{8k^2}{4k^2+3},x_1x_2=\dfrac{4k^2-12}{4k^2+3}$．所以 ${{k}_{1}}+{{k}_{2}}=\dfrac{{{y}_{1}}}{{{x}_{1}}+2}+\dfrac{{{y}_{2}}}{{{x}_{2}}+2}\\=\dfrac{k\left({{x}_{1}}-1 \right)}{{{x}_{1}}+2}+\dfrac{k\left( {{x}_{2}}-1\right)}{{{x}_{2}}+2}\\=k\left( 1-\dfrac{3}{{{x}_{1}}+2}+1-\dfrac{3}{{{x}_{2}}+2}\right)\\=k\cdot \left[ 2-\dfrac{3\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+4 \right)}{\left({{x}_{1}}+2 \right)\left( {{x}_{2}}+2 \right)} \right]\\=k\cdot \left[ 2-\dfrac{3\left({{x}_{1}}+{{x}_{2}}+4 \right)}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}+2\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}}\right)+4} \right]\\=k\cdot \left[ 2-\dfrac{3\left( \dfrac{8{{k}^{2}}}{4{{k}^{2}}+3}+4\right)}{\dfrac{4{{k}^{2}}-12}{4{{k}^{2}}+3}+2\times \dfrac{8{{k}^{2}}}{4{{k}^{2}}+3}+4}\right]\\=k\cdot \left[ 2-\dfrac{3\left( 8{{k}^{2}}+16{{k}^{2}}+12\right)}{4{{k}^{2}}-12+16{{k}^{2}}+16{{k}^{2}}+12} \right]\\=k\cdot \left( 2-\dfrac{2{{k}^{2}}+1}{{{k}^{2}}}\right)=-\dfrac{1}{k}$．又 $k_1+k_2=-\dfrac{1}{2}$，因此 $k=2$，直线 $l$ 的方程为 $y=2(x-1)$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
