现有如下两个命题：
命题 $p$：函数 $f\left(x \right) = {x^3} + a{x^2} + ax - a $ 既有极大值，又有极小值．
命题 $ q $：直线 $ 3x + 4y - 2 = 0 $ 与曲线 $ {x^2} - 2ax + {y^2} + {a^2} - 1 = 0 $ 有公共点．
若命题“$ p $ 或 $ q $”为真，且命题“$ p $ 且 $ q $”为假，试求 $ a$ 的取值范围．
命题 $p$：函数 $f\left(x \right) = {x^3} + a{x^2} + ax - a $ 既有极大值，又有极小值．
命题 $ q $：直线 $ 3x + 4y - 2 = 0 $ 与曲线 $ {x^2} - 2ax + {y^2} + {a^2} - 1 = 0 $ 有公共点．
若命题“$ p $ 或 $ q $”为真，且命题“$ p $ 且 $ q $”为假，试求 $ a$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
2009年浙江大学自主招生考试
【标注】
【答案】
$(-\infty,-1)\cup\left[0,\dfrac 73\right]\cup(3,+\infty)$
【解析】
由题意知 $p$ 与 $q$ 一真一假．
情形一 当 $p$ 真时，$f'(x)=3x^2+2ax+a$ 有两个不同的实数根，从而判别式为正，解得 $a>3$ 或 $a<0$；
情形二 当 $q$ 真时，则圆心 $(a,1)$ 到直线的距离不大于半径，即 $\dfrac{{\left| {3a - 2} \right|}}{5} \leqslant 1$，解得 $-1\leqslant a \leqslant \dfrac 73$．
从而分别考虑“$p$ 真 $q$ 假”与“$p$ 假 $q$ 真”，即$$\begin{cases}a>3\lor a<0,\\a<-1\lor a>\dfrac 73,\end{cases}$$或$$\begin{cases}0\leqslant a\leqslant 3,\\-1\leqslant a\leqslant \dfrac 73,\end{cases}$$得到 $a$ 的取值范围为 $(-\infty,-1)\cup\left[0,\dfrac 73\right]\cup(3,+\infty)$．
从而分别考虑“$p$ 真 $q$ 假”与“$p$ 假 $q$ 真”，即$$\begin{cases}a>3\lor a<0,\\a<-1\lor a>\dfrac 73,\end{cases}$$或$$\begin{cases}0\leqslant a\leqslant 3,\\-1\leqslant a\leqslant \dfrac 73,\end{cases}$$得到 $a$ 的取值范围为 $(-\infty,-1)\cup\left[0,\dfrac 73\right]\cup(3,+\infty)$．
答案
解析
备注
