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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
19069 5c6e14e2210b281dbaa935b5 高中 解答题 自招竞赛 设 $\left( 1+\sin t \right)\left( 1+\cos t \right)=\dfrac{5}{4}$，$\left( 1-\sin t \right)\left( 1-\cos t \right)=\dfrac{m}{n}-\sqrt{k}$，其中 $k$，$m$ 和 $n$ 为正整数，$m$ 和 $n$ 互素．求 $k+m+n$． 2022-04-17 19:18:47
19068 5c762045210b284290fc2540 高中 解答题 自招竞赛 设 $\alpha =\dfrac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2008}$，求最小的正整数 $n$ 使得式子
$2\left( \cos \alpha \sin \alpha +\cos 4\alpha \sin 2\alpha +\cos 9\alpha \sin 3\alpha +\ldots +\cos {{n}^{2}}\alpha \sin n\alpha \right)$
的值为整数．		 2022-04-17 19:17:47
19036 5c6babaa210b281dbaa934b9 高中 解答题 自招竞赛 设 $\sec x+\tan x=\frac{22}{7}$，$\csc x+\cot x=\frac{m}{n}$，其中 $\frac{m}{n}$ 为最简分数，求 $m+n$． 2022-04-17 19:01:47
17270 5989177e5ed01a000ba75ca2 高中 解答题 自招竞赛 求所有函数 $f:\mathbb R:\mathbb R$，使得对任意 $x,y$，都有 $f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy$，且 $x^{2}-|x|^{\frac{1}{2}}\leqslant f(x)\leqslant x^{2}+|x|^{\frac{1}{2}}$． 2022-04-17 19:47:30
17184 5e65bb66210b280d3611182e 高中 解答题 高考真题 $\triangle ABC$ 的内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$，已知 $a\sin\dfrac{A+C}{2}=b\sin A$．
（1）求 $B$；
（2）若 $\triangle ABC$ 为锐角三角形，且 $c=1$，求 $\triangle ABC$ 面积的取值范围．		 2022-04-17 19:58:29
17181 5e65ce66210b280d36111852 高中 解答题 高考真题 已知曲线 $C:y=\dfrac{x^2}{2}$，$D$ 为直线 $y=-\dfrac{1}{2}$ 上的动点，过 $D$ 作 $C$ 的两条切线，切点分别为 $A,B$．
（1）证明：直线 $AB$ 过定点；
（2）若以 $E\left(0,\dfrac{5}{2}\right)$ 为圆心的圆与直线 $AB$ 相切，且切点为线段 $AB$ 的中点，求该圆的方程．		 2022-04-17 19:56:29
17177 5e61b2b5210b280d36111791 高中 解答题 高考真题 已知 $\{a_n\}$ 是各项均为正数的等比数列，$a_1=2,a_3=2a_2+16$．
（1）求 $\{a_n\}$ 的通项公式；
（2）设 $b_n=\log_2a_n$，求数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和．		 2022-04-17 19:54:29
17175 5e61b82b210b280d3611179e 高中 解答题 高考真题 已知 $F_1,F_2$ 是椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的两个焦点，$P$ 为 $C$ 上的点，$O$ 为坐标原点．
（1）若 $\triangle POF_2$ 为等边三角形，求 $C$ 的离心率；
（2）如果存在点 $P$，使得 $PF_1\perp PF_2$，且 $\triangle F_1PF_2$ 的面积等于 $16$，求 $b$ 的值和 $a$ 的取值范围．		 2022-04-17 19:53:29
17166 5e5f1e2c210b280d36111704 高中 解答题 高考真题 在直角坐标系 $xOy$ 中，曲线 $C$ 的坐标方程为 $\begin{cases}x=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}\\y=\dfrac{4t}{1+t^2}\end{cases}$（$t$ 为参数）．以坐标原点 $O$ 为极点，$x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 $l$ 的极坐标方程为 $2\rho \cos\theta+\sqrt{3}\rho\sin\theta+11=0$．
（1）求 $C$ 和 $l$ 的直角坐标方程；
（2）求 $C$ 上的点到 $l$ 距离的最小值．		 2022-04-17 19:48:29
17159 5e5c7cef210b280d3782240e 高中 解答题 高考真题 设函数 $f(x) =\ln x-a(x-1)e^x$，其中 $ a\in\mathbb{R} $．
（I）若 $ a\leqslant 0 $，讨论 $ f(x)$ 的单调性；
（II）若 $ 0<a<\dfrac{1}{e} $
（i）证明 $ f(x)$ 恰有两个零点；
（ii）设 $ x_0 $ 为 $ f(x)$ 的极值点，$ x_1 $ 为 $ f(x)$ 的零点，且 $ x_1>x_0 $，证明 $ 3x_0-x_1>2$．		 2022-04-17 19:44:29
17157 5e57350a210b280d3782237c 高中 解答题 高考真题 设函数 $f(x)=\sin x,x\in\mathbb{R}$．
（I）已知 $\theta\in [0,2\pi)$，函数 $f(x+\theta)$ 是偶函数，求 $\theta$ 的值；
（II）求函数 $y=\left[f\left(x+\dfrac{\pi}{12}\right)\right]^2+\left[f\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)\right]^2$ 的值域．		 2022-04-17 19:43:29
17129 5e4a0187210b280d37822085 高中 解答题 高考真题 设函数 $f(x)=(x-a)(x-b)(x-c),a,b,c\in\mathbb{R}$、$f^\prime(x)$ 为 $f(x)$ 的导函数．
（1）若 $a=b=c,f(4)=8$，求 $a$ 的值；
（2）若 $a\ne b,b=c$，且 $f(x)$ 和 $f^\prime(x)$ 的零点均在集合 $\{-3,1,3\}$ 中，求 $f(x)$ 的极小值；
（3）若 $a=0,0<b,c=1$，且 $f(x)$ 的极大值为 $M$，求证：$M\leqslant \dfrac{4}{27}$．		 2022-04-17 19:29:29
17122 5e4b7b18210b280d37822111 高中 解答题 高考真题 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，设点集 $A_n=\{(0,0),(1,0),(2,0),\cdots,(n,0)\},B_n=\{(0,1),(n,1)\}$ $C_n=\{(0,2),(1,2),(2,2),\cdots,(n,2)\}$，
令 $M_n=A_n\bigcup B_n\bigcup C_n$．从集合 $M_n$ 中任取两个不同的点，用随机变量 $X$ 表示它们之间的距离．
（1）当 $n=1$ 时，求 $X$ 的概率分布；
（2）对给定的正整数 $n(n\geqslant 3)$，求概率 $P(X\leqslant n)$（用 $n$ 表示）．		 2022-04-17 19:25:29
17116 5e44c175210b280d37821ffa 高中 解答题 高考真题 在直角坐标系 $xOy$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 $\begin{cases}x=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}\\y=\dfrac{4t}{1+t^2}\end{cases}$（$t$ 为参数）．以坐标原点 $O$ 为极点，$x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 $2\rho\cos\theta+\sqrt{3}\rho\sin\theta+11=0$．
（1）求 $C$ 和 $l$ 的直角坐标方程；
（2）求 $C$ 上的点到 $l$ 距离的最小值．		 2022-04-17 19:23:29
17100 5ef9c90e210b28017b0e2e03 高中 解答题 高考真题 用列举法表示下列集合： 2022-04-17 19:13:29
17099 5ef9c9ef210b28017b0e2e0f 高中 解答题 高考真题 试分别用描述法和列举法表示下列集合： 2022-04-17 19:12:29
17098 5ef9cb31210b28017ae2f8de 高中 解答题 高考真题 判断下列元素的全体是否组成集合，并说明理由； 2022-04-17 19:12:29
17090 5efaa87e210b28017b0e2e82 高中 解答题 高考真题 用列举法表示下列集合： 2022-04-17 19:08:29
17089 5efaaaec210b28017b0e2e99 高中 解答题 高考真题 用适当的方法表示下列集合： 2022-04-17 19:07:29
17088 5efaabb3210b28017b0e2ead 高中 解答题 高考真题 写出集合 $\{a,b\}$ 的所有子集，并指出哪些是它的真子集． 2022-04-17 19:06:29
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