设 $\left( 1+\sin t \right)\left( 1+\cos t \right)=\dfrac{5}{4}$，$\left( 1-\sin t \right)\left( 1-\cos t \right)=\dfrac{m}{n}-\sqrt{k}$，其中 $k$，$m$ 和 $n$ 为正整数，$m$ 和 $n$ 互素．求 $k+m+n$．
【难度】
【出处】
1995年第13届美国数学邀请赛（AIME）
【标注】
【答案】
340
【解析】
因为 $\left[ {{\log }_{2}}n \right]=k\Leftrightarrow {{2}^{k}}\leqslant n\leqslant{{2}^{k+1}}$，为了使整数 $k$ 是正偶数，必须
$n\in \underbrace{\{4,5,6,7}_{4},\underbrace{16,17,\cdots,31}_{16},\underbrace{64,65,\cdots,127}_{64} ,\underbrace{256 257 \cdots 511\}}_{256}$，
所以所求 $n$ 的个数为 $4+16+64+256=340$．
$n\in \underbrace{\{4,5,6,7}_{4},\underbrace{16,17,\cdots,31}_{16},\underbrace{64,65,\cdots,127}_{64} ,\underbrace{256 257 \cdots 511\}}_{256}$，
所以所求 $n$ 的个数为 $4+16+64+256=340$．
答案
解析
备注
