设函数 $f(x)=\sin x,x\in\mathbb{R}$．
（I）已知 $\theta\in [0,2\pi)$，函数 $f(x+\theta)$ 是偶函数，求 $\theta$ 的值；
（II）求函数 $y=\left[f\left(x+\dfrac{\pi}{12}\right)\right]^2+\left[f\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)\right]^2$ 的值域．
（I）已知 $\theta\in [0,2\pi)$，函数 $f(x+\theta)$ 是偶函数，求 $\theta$ 的值；
（II）求函数 $y=\left[f\left(x+\dfrac{\pi}{12}\right)\right]^2+\left[f\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)\right]^2$ 的值域．
【难度】
【出处】
2019年高考浙江卷
【标注】
【答案】
略
【解析】
（I）因为 $f(x+\theta)=\sin (x+\theta)$ 偶函数，所以，对任意实数 $x$ 都有 $\sin(x+\theta)=\sin(-x+\theta)$，即 $\sin x\cos\theta+\cos x\sin\theta=-\sin x\cos\theta+\cos x\sin\theta$，故 $2\sin x\cos\theta=0$，所以 $\cos\theta=0$．
又 $\theta\in[0,2\pi)$，因此 $\theta=\dfrac{\pi}{2}$ 或 $\dfrac{3\pi}{2}$．
（II）$y=\left[f\left(x+\dfrac{\pi}{12}\right)\right]^2+\left[f\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)\right]^2=\sin ^2\left(x+\dfrac{\pi}{12}\right)+\sin^2\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)$
$=\dfrac{1-\cos(2x+\frac{\pi}{6})}{2}+\dfrac{1-\cos(2x+\frac{\pi}{2})}{2}=1-\dfrac{1}{2}(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos 2x-\dfrac{3}{2}\sin 2x)$
$=1-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos\left(2x+\dfrac{\pi}{3}\right)$．
因此，函数的值域是 $\left[1-\dfrac{\sqrt{3}}{2},1+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right]$．
又 $\theta\in[0,2\pi)$，因此 $\theta=\dfrac{\pi}{2}$ 或 $\dfrac{3\pi}{2}$．
（II）$y=\left[f\left(x+\dfrac{\pi}{12}\right)\right]^2+\left[f\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)\right]^2=\sin ^2\left(x+\dfrac{\pi}{12}\right)+\sin^2\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)$
$=\dfrac{1-\cos(2x+\frac{\pi}{6})}{2}+\dfrac{1-\cos(2x+\frac{\pi}{2})}{2}=1-\dfrac{1}{2}(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos 2x-\dfrac{3}{2}\sin 2x)$
$=1-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos\left(2x+\dfrac{\pi}{3}\right)$．
因此，函数的值域是 $\left[1-\dfrac{\sqrt{3}}{2},1+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right]$．
答案
解析
备注
