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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
18594 5c85f2e1210b28428f14d493 高中 解答题 自招竞赛 如果一个正整数的十进制表示中，任何两个相邻数字的奇偶性不同，则称这个正整数为交替数．
试求出所有的正整数 $n$，使得 $n$ 至少有一个倍数为交替数．（伊朗）		 2022-04-17 19:51:42
18573 5c85f63a210b28428f14d49d 高中 解答题 自招竞赛 设 $A$ 是 是集合 $S=\{1,2,3,\cdots,1000000\}$ 的一个恰有 $101$ 个元素的子集．求证：在 $S$ 中存在数 $t_1,t_2,\cdots,t_{100}$，使得集合 $A_j=\{x+{t}_{j}|x\in A\},j=1,2,\cdots,100$ 中，每两个的交集为空集．（巴西） 2022-04-17 19:38:42
18542 5c85f8d2210b28428f14d4ba 高中 解答题 自招竞赛 设 $n$ 为任意给定的正整数，$T$ 是平面上所有满足 $x+y<n,x,y$ 为非负整数的点 $(x,y)$ 所组成的集合．$T$ 中每一点 $(x,y)$ 均被染上红色或蓝色，满足：若 $(x,y)$ 是红色，则 $T$ 中所有满足 $x^\prime \leqslant x,y^\prime \leqslant y$ 的点 $(x^\prime,y^\prime)$ 均为红色．如果 $n$ 个蓝点 的横坐标各不相同，那么称这 $n$ 个蓝点所组成的集合为一个 $X-$ 集；如果 $n$ 个蓝点 的纵坐标各不相同，那么称这 $n$ 个蓝点所组成的集合为一个 $Y-$ 集．求证：$X-$ 集的个数和 $Y-$ 集的个数一样多．（哥伦比亚） 2022-04-17 19:22:42
18534 5c85fed5210b28428f14d4e2 高中 解答题 自招竞赛 $21$ 个女孩和 $21$ 个男孩参加一次数学竞赛．
（1）每一个参赛者至多解出了 $6$ 道题；
（2）对于每一个女孩和每一个男孩，至少有一题被这一对孩子都解出．
求证：有一道题，至少有 $3$ 个女孩和至少 $3$ 个男孩都解出．（德国）		 2022-04-17 19:17:42
18480 5c86037e210b28428f14d508 高中 解答题 自招竞赛 设 $n\geqslant 2$ 为正整数．开始时，在一条直线上有 $n$ 只跳蚤，且它们不全在同一点．对任意给定的一个正实数 $\lambda$，可以定义如下的一种"移动"：
（1）选取任意两只跳蚤，设它们分别位于点 $A$ 和 $B$，且 $A$ 位于 $B$ 的左边；
（2）令位于点 $A$ 的跳蚤跳到该直线上位于点 $B$ 右边的 $C$，使得 $\dfrac{BC}{AB}=\lambda$．
试确定所有可能的正实数 $\lambda$，使得对于直线上任意给定的点 $M$ 以及这 $n$ 只跳蚤的任意初始位置，总能够经过有限多个移动之后令所有的跳蚤都位于 $M$ 的右边．（白俄罗斯）		 2022-04-17 19:48:41
18475 5c860385210b284290fc2b0c 高中 解答题 自招竞赛 一位魔术师有 $100$ 张卡片，分别写有数字 $1$ 到 $100$．他把这 $100$ 张卡片放入三个盒子里，一个盒子是红色的，一个是白色的，一个是蓝色的．每个盒子里至少都放入了一张卡片．一位观众从三个盒子中挑出两个，再从这两个盒子里各选出一张卡片，然后宣布这两张卡片上的数字和．知道这个和之后，魔术师便能够指出哪一个是没有从中选取卡片的盒子．问共有多少种放卡片的方法，使得这个魔术总能成功？（两种方法被认为是不同的，如果至少有一张卡片被放入不同颜色的盒子．）（匈牙利） 2022-04-17 19:45:41
18469 5c8606c9210b28428f14d520 高中 解答题 自招竞赛 确定平面上所有至少包含三个点的有限点集 $S$，它们满足下述条件：
对于 $ S$ 中任意两个互不相同的点 $A$ 和 $B$，线段 $AB$ 的垂直平分线是 $S$ 的一条对称轴．（爱沙尼亚）		 2022-04-17 19:42:41
18467 5c8606d7210b284290fc2b26 高中 解答题 自招竞赛 设 $n$ 是一个固定的正偶数．考虑一块 $n×n$ 的正方板，它被分成 ${n}^{2}$ 个单位正方格．板上两个不同的正方格如果有一条公共边，就称它们为相邻的．
将板上 $N$ 个单位正方格作上标记，使得板上的任意正方格（作上标记的或者没有作上标记的）都与至少一个作上标记的正方格相邻．
确定 $N$ 的最小值．（白俄罗斯）		 2022-04-17 19:41:41
18462 5c860cec210b28428f14d544 高中 解答题 自招竞赛 在某项竞赛中，共有 $a$ 个参赛选手与 $b$ 个裁判，其中 $b\geqslant 3$ 且为奇数．每个裁判对每个选手的评分只有“通过”或“不及格”两个等级．设 $k$ 是满足以下条件的整数：任何两个裁判至多可对 $k$ 个选手有完全相同的评分．求证：$\dfrac{k}{a}\geqslant \dfrac{b-1}{2b}$．（印度） 2022-04-17 19:39:41
18451 5c86171e210b28428f14d569 高中 解答题 自招竞赛 在坐标平面上，具有整数坐标的点构成单位边长的正方格的顶点．这些正方格被涂上黑白相间的两种颜色（像国际象棋棋盘那样）．
对于任意一对正整数 $m$ 和 $n$，考虑一个直角三角形，它的顶点具有整数坐标，两条直角边的长度分别为 $m$ 和 $n$，且两条直角边都在这些正方格的边上．
令 ${S}_{1}$ 为这个三角形区域中所有黑色部分的总面积，${S}_{2}$ 则 为所有白色部分的总面积．令 $f(m,n)=|{S}_{1}-{S}_{2}|$．
（1）当 $m$ 和 $n$ 同为正偶数或同为正奇数时，计算 $f(m,n)$ 的值；
（2）求证：$f(m,n)\leqslant \frac{1}{2}\max \{m,n\}$ 对于所有的 $m$ 和 $n$ 都成立；
（3）求证：不存在常数 $c$，使得对所有 $m$ 和 $n$，不等式 $f(m,n)<c$ 都成立．（白俄罗斯）		 2022-04-17 19:32:41
18450 5c86172a210b28428f14d570 高中 解答题 自招竞赛 设 ${x}_{1},{x}_{2},\cdots,{x}_{n}$ 是满足下列条件的实数：$\left| {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+\cdots +{{x}_{n}} \right|=1$，且 $\left| {{x}_{i}} \right|\leqslant \dfrac{n+1}{2}\text{ }i=1,2,\ldots ,n$．求证：存在 ${x}_{1},{x}_{2},\cdots,{x}_{n}$ 的一个排列 $\pi:{y}_{1},{y}_{2},\cdots,{y}_{n}$，使得 $\left| {{y}_{1}}+2{{y}_{2}}+\cdots +n{{y}_{n}} \right|\leqslant \dfrac{n+1}{2}$．（俄罗斯） 2022-04-17 19:32:41
18449 5c861736210b28428f14d575 高中 解答题 自招竞赛 一个 $n×n$ 的矩阵（正方阵）称为 $n$ 阶“银矩阵”，如果它的元素取自集合 $S={1,2,\cdots,2n-1}$，且对于每个 $i=1,2,\cdots,n$，它的第 $i$ 行和第 $i$ 列中的所有元素合起来恰好是 $S$ 中 的所有元素，求证：
（1）不存在 $n=1997$ 阶的银矩阵；
（2）有无限多个 $n$ 的值，存在 $n$ 阶银矩阵．（伊朗）		 2022-04-17 19:31:41
18447 5c861743210b28428f14d580 高中 解答题 自招竞赛 对于每个正整数 $n$，将 $n$ 表示成 $2$ 的非负整数次方之和．令 $f(n)$ 为正整数 $n$ 的不同表示法的个数．
如果两个表示法的差别仅在于它们中各个数相加的次序不同，这两个表示法就被视为是相同的．例如，$f(4)=4$，因为 $4$ 恰有下列四种表示法：$4;2+2;2+1+1;1+1+1+1$．
求证：对于任意整数 $n\geqslant3,{{2}^{\frac{{{n}^{2}}}{4}}}<f({{2}^{n}})<{{2}^{\frac{{{n}^{2}}}{2}}}$．（立陶宛）		 2022-04-17 19:29:41
18445 5c86240a210b28428f14d590 高中 解答题 自招竞赛 设 $ABCD$ 是块矩形的板，$|AB|=20$，$|BC|=12$，这块板分成 $20×12$ 个单位正方形．
设 $r$ 是给定的正整数，当且仅当这两个小方块的中心之间的距离等于 $\sqrt{r}$ 时，可以把放在其中一个小方块里的硬币移到另一个小方块中．
在以 $A$ 为顶点的小方块中放有一硬币，我们的工作是要找出一系列的移动，使这硬币移到以 $B$ 为顶点的小方块中．
（1）求证：当 $r$ 被 $2$ 或 $3$ 整除时，这一工作不可能完成；
（2）求证：当 $r=73$ 时，这项工作可以完成；
（3）当 $r=97$ 时，这项工作能否完成？（芬兰）		 2022-04-17 19:28:41
18437 5c871400210b28428f14d5b7 高中 解答题 自招竞赛 试确定所有整数 $n>3$，使得在平面上存在 $n$ 个点 ${A}_{1},\cdots,{A}_{n}$，并存在实数 ${r}_{1},\cdots,{r}_{n}$，满足以下两条件：
（1）${A}_{1},\cdots,{A}_{n}$ 中任意三点都不在同一直线上；
（2）对于每个三元组 $i,j,k(1\leqslant i＜j＜k\leqslant n)$，$\triangle {A}_{i}{A}_{j}{A}_{k}$ 的面积等于 ${r}_{i}+{r}_{j}+{r}_{k}$．（捷克）		 2022-04-17 19:23:41
18433 5c871410210b28428f14d5c3 高中 解答题 自招竞赛 设 $p$ 是一个奇质数，考虑集合 $\{1,2,\cdots,2p\}$ 的满足以下两条件的子集 $A$：
（1）$A$ 恰有 $p$ 个元素；
（2）$A$ 中所有元素之和可被 $p$ 整除．
试求所有这样的子集 $A$ 的个数．（波兰）		 2022-04-17 19:21:41
18419 5c871c15210b28428f14d5f6 高中 解答题 自招竞赛 在一个可以无限扩展的方格棋盘上，一个游戏按下述规则进行：
首先，把 ${n}^{2}$ 枚棋子放在由相连的小方格组成的 $n×n$ 的方块中，每个小方格里放一枚棋子，这个游戏的每一个允许的步骤是：把一枚棋子沿水平方向或者垂直方向跨越相邻并放有棋子的一个小方格进入下一个小方格，如果那里是空着的；否则不允许，然后即把被跨越的那枚棋子拿掉．
求 $n$ 的所有这样的值，对每一个这样的值存在一种玩法，使得这游戏最终导致棋盘上只剩下一枚棋子．（芬兰）		 2022-04-17 19:13:41
18410 5c8720f8210b284290fc2bab 高中 解答题 自招竞赛 给定空间中的 $9$ 个点，其中任何 $4$ 点都不共面，在每一对点之间都连有一条线段，这条线段可染为红色或蓝色，也可不染色．试求出最小的 $n$ 值，使得将其中任意 $n$ 条线段中的每一条任意地染为红蓝二色之一时，在这 $n$ 条线段的集合中都必包含有一个各边同色的三角形．（中国） 2022-04-17 19:08:41
18408 5c872108210b28428f14d611 高中 解答题 自招竞赛 设 $Oxyz$ 是空间直角坐标系，$S$ 是空间中的一个由有限个点组成的集合，${S}_{x},{S}_{y},{S}_{z}$ 分别是 $S$ 中所有的点在 $Oyz$ 平面，$Ozx$ 平面，$Oxy$ 平面上的正交投影所成的集合．求证：${{\left| S \right|}^{2}}\leqslant \left| {{S}_{x}} \right|\cdot \left| {{S}_{y}} \right|\cdot \left| {{S}_{z}} \right|$，其中 $|A|$ 表示有限集合 $A$ 中的元素数目．（注：所谓一个点在一个平面上的正交投影是指由该点向平面所作垂线的垂足．）（意大利） 2022-04-17 19:07:41
18402 5c87253d210b284290fc2bc1 高中 解答题 自招竞赛 设 $G$ 是一个有 $k$ 条棱的连通图，求证：可以将 $G$ 的棱标号为 $1,2,\cdots,k$ 使得在每一个属于两条或更多棱的顶点，过该顶点各条棱的标号数的最大公因子是 $1$．
（美国）		 2022-04-17 19:04:41
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