设 $n\geqslant 2$ 为正整数．开始时，在一条直线上有 $n$ 只跳蚤，且它们不全在同一点．对任意给定的一个正实数 $\lambda$，可以定义如下的一种"移动"：
（1）选取任意两只跳蚤，设它们分别位于点 $A$ 和 $B$，且 $A$ 位于 $B$ 的左边；
（2）令位于点 $A$ 的跳蚤跳到该直线上位于点 $B$ 右边的 $C$，使得 $\dfrac{BC}{AB}=\lambda$．
试确定所有可能的正实数 $\lambda$，使得对于直线上任意给定的点 $M$ 以及这 $n$ 只跳蚤的任意初始位置，总能够经过有限多个移动之后令所有的跳蚤都位于 $M$ 的右边．（白俄罗斯）
（1）选取任意两只跳蚤，设它们分别位于点 $A$ 和 $B$，且 $A$ 位于 $B$ 的左边；
（2）令位于点 $A$ 的跳蚤跳到该直线上位于点 $B$ 右边的 $C$，使得 $\dfrac{BC}{AB}=\lambda$．
试确定所有可能的正实数 $\lambda$，使得对于直线上任意给定的点 $M$ 以及这 $n$ 只跳蚤的任意初始位置，总能够经过有限多个移动之后令所有的跳蚤都位于 $M$ 的右边．（白俄罗斯）
【难度】
【出处】
2000年第41届IMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
要使跳蚤尽可能远地跳向右边，一个合理的策略是在每一个移动中都选取最左边的跳蚤所处的位置作为点 $A$，最右边的跳蚤所处的位置作为点 $B$．
按照这一策略，假设在 $k$ 次移动之后，这些跳蚤之间的距离的最大值为 $d$，而任意两只相邻跳蚤之间距离的最小值为 $\delta_k$．显然有 $d_k\geqslant(n-1)\delta_k$．
经过第 $(k+1)$ 次移动，会产生一个新的两只相邻跳蚤之间的距离 $\lambda d_k$．如果这是新的最小值，那么有 $\delta_{k+1}=\lambda d_k$；如果它不是最小值，那么显然有 $\delta_{k+1}\geqslant \delta_k$．无论哪种情形，总有 $\dfrac{\delta_{k+1}}{\delta_k}\geqslant\min\{1,\dfrac{\lambda d_k}{\delta_k}\}\geqslant\min\{1,(n-1)\lambda\}$．
因此，只要 $\lambda\geqslant\dfrac{1}{n-1}$，就有 $\delta_{k+1}\geqslant \delta_k$ 对任意 $k$ 都成立．这意味着任意两只相邻跳蚤之间距离的最小值不会减小．
故每次移动之后，最左边的跳蚤所处的位置都以不小于某个正的常数的步伐向右平移．最终，所有的跳蚤都可以跳到任意给定的点 $M$ 的右边．
下面证明：如果 $\lambda<\dfrac{1}{n-1}$，那么对任意初始位置都存在某个点 $M$，使得这些跳蚤无法跳到点 $M$ 的右边．
将这些跳蚤的位置表示成实数，考虑任意的一系列移动．令 $S_k$ 为第 $k$ 次移动之后，表示跳蚤所在位置的所有实数之和，再令 $w_k$ 为这些实数最大的一个（即最右边的跳蚤的位置）．显然有 $S_k\leqslant nw_k$．我们要证明序列 $\{w_k\}$ 有界．
在第 $(k+1)$ 次移动时，一只跳蚤从点 $A$ 跳过点 $B$ 落在点 $C$，分别用实数 $a,b,c$ 表示这三个点．则 $S_{k+1}=S_k+c-a$．根据移动的定义，$c-b=\lambda(b-a)$．进而得到 $\lambda(c-a)=(1+\lambda)(c-b)$．
于是，$S_{k+1}-S_k=c-a=\dfrac{1+\lambda}{\lambda}(c-b)$．
如果 $c>w_k$，那么刚跳过来的这只跳蚤占据了新的最右边位置 $w_{k+1}=c$．再由 $b\leqslant w_k$ 可得
$S_{k+1}-S_k=\dfrac{1+\lambda}{\lambda}(c-b)\geqslant\dfrac{1+\lambda}{\lambda}(w_{k+1}-w_k)$
如果 $c\leqslant w_k$，那么有 $w_{k+1}-w_k=0,S_{k+1}-S_k=c-a>0$．
故上式仍然成立．
考虑下列数列 $z_k=\dfrac{1+\lambda}{\lambda}\cdot w_k-S_k,k=0,1,2,\cdots$
则有 $z_{k+1}-z_k\leqslant 0$，即该数列是不升的．
因此，对所有的 $k$ 总有 $z_k\leqslant z_0$．
假设 $\lambda<\dfrac{1}{n-1}$，则 $1+\lambda>n\lambda$．可以把 $z_k$ 写成
$z_k=(n+\mu)w_k-S_k$，其中 $\mu=\dfrac{1+\lambda}{\lambda}-n>0$
于是得到不等式 $z_k=\mu w_k+(nw_k-S_k)\geqslant \mu w_k$．
故对于所有的 $k$，总有 $w_k\leqslant\dfrac{z_0}{\mu}$．这意味着最右边跳蚤的位置永远不会超过一个常数，这个常数与 $n,\lambda$ 和这些跳蚤的初始位置有关，而与如何移动无关．
所以，所求 $\lambda$ 的可能值为所有不小于 $\dfrac{1}{n-1}$ 的实数．
按照这一策略，假设在 $k$ 次移动之后，这些跳蚤之间的距离的最大值为 $d$，而任意两只相邻跳蚤之间距离的最小值为 $\delta_k$．显然有 $d_k\geqslant(n-1)\delta_k$．
经过第 $(k+1)$ 次移动，会产生一个新的两只相邻跳蚤之间的距离 $\lambda d_k$．如果这是新的最小值，那么有 $\delta_{k+1}=\lambda d_k$；如果它不是最小值，那么显然有 $\delta_{k+1}\geqslant \delta_k$．无论哪种情形，总有 $\dfrac{\delta_{k+1}}{\delta_k}\geqslant\min\{1,\dfrac{\lambda d_k}{\delta_k}\}\geqslant\min\{1,(n-1)\lambda\}$．
因此，只要 $\lambda\geqslant\dfrac{1}{n-1}$，就有 $\delta_{k+1}\geqslant \delta_k$ 对任意 $k$ 都成立．这意味着任意两只相邻跳蚤之间距离的最小值不会减小．
故每次移动之后，最左边的跳蚤所处的位置都以不小于某个正的常数的步伐向右平移．最终，所有的跳蚤都可以跳到任意给定的点 $M$ 的右边．
下面证明：如果 $\lambda<\dfrac{1}{n-1}$，那么对任意初始位置都存在某个点 $M$，使得这些跳蚤无法跳到点 $M$ 的右边．
将这些跳蚤的位置表示成实数，考虑任意的一系列移动．令 $S_k$ 为第 $k$ 次移动之后，表示跳蚤所在位置的所有实数之和，再令 $w_k$ 为这些实数最大的一个（即最右边的跳蚤的位置）．显然有 $S_k\leqslant nw_k$．我们要证明序列 $\{w_k\}$ 有界．
在第 $(k+1)$ 次移动时，一只跳蚤从点 $A$ 跳过点 $B$ 落在点 $C$，分别用实数 $a,b,c$ 表示这三个点．则 $S_{k+1}=S_k+c-a$．根据移动的定义，$c-b=\lambda(b-a)$．进而得到 $\lambda(c-a)=(1+\lambda)(c-b)$．
于是，$S_{k+1}-S_k=c-a=\dfrac{1+\lambda}{\lambda}(c-b)$．
如果 $c>w_k$，那么刚跳过来的这只跳蚤占据了新的最右边位置 $w_{k+1}=c$．再由 $b\leqslant w_k$ 可得
$S_{k+1}-S_k=\dfrac{1+\lambda}{\lambda}(c-b)\geqslant\dfrac{1+\lambda}{\lambda}(w_{k+1}-w_k)$
如果 $c\leqslant w_k$，那么有 $w_{k+1}-w_k=0,S_{k+1}-S_k=c-a>0$．
故上式仍然成立．
考虑下列数列 $z_k=\dfrac{1+\lambda}{\lambda}\cdot w_k-S_k,k=0,1,2,\cdots$
则有 $z_{k+1}-z_k\leqslant 0$，即该数列是不升的．
因此，对所有的 $k$ 总有 $z_k\leqslant z_0$．
假设 $\lambda<\dfrac{1}{n-1}$，则 $1+\lambda>n\lambda$．可以把 $z_k$ 写成
$z_k=(n+\mu)w_k-S_k$，其中 $\mu=\dfrac{1+\lambda}{\lambda}-n>0$
于是得到不等式 $z_k=\mu w_k+(nw_k-S_k)\geqslant \mu w_k$．
故对于所有的 $k$，总有 $w_k\leqslant\dfrac{z_0}{\mu}$．这意味着最右边跳蚤的位置永远不会超过一个常数，这个常数与 $n,\lambda$ 和这些跳蚤的初始位置有关，而与如何移动无关．
所以，所求 $\lambda$ 的可能值为所有不小于 $\dfrac{1}{n-1}$ 的实数．
答案
解析
备注
