一位魔术师有 $100$ 张卡片，分别写有数字 $1$ 到 $100$．他把这 $100$ 张卡片放入三个盒子里，一个盒子是红色的，一个是白色的，一个是蓝色的．每个盒子里至少都放入了一张卡片．一位观众从三个盒子中挑出两个，再从这两个盒子里各选出一张卡片，然后宣布这两张卡片上的数字和．知道这个和之后，魔术师便能够指出哪一个是没有从中选取卡片的盒子．问共有多少种放卡片的方法，使得这个魔术总能成功？（两种方法被认为是不同的，如果至少有一张卡片被放入不同颜色的盒子．）（匈牙利）
【难度】
【出处】
2000年第41届IMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
考虑 $1$ 到 $100$ 之间的整数，为简便起见，将整数 $i$ 所放入的盒子的颜色定义为该整数的颜色．用 $r$ 代表红色，$w$ 代表白色，$b$ 代表蓝色．
（1）存在某个 $i$，使得 $i,i+1,i+2$ 的颜色互不相同，例如分别为 $r,w,b$．因 $i+(i+3)=(i+1)+(i+2)$，所以 $i+3$ 的颜色既不能是 $i+1$ 的颜色 $w$，也不能是 $i+2$ 的颜色 $b$，只能是 $r$，可见只要三个相邻的数字有互不相同的颜色，就能够确定下一个数字的颜色．进一步地，这三个数字的颜色模式必定反复出现：$rwb$ 后面一定是 $r$，然后又是 $w,b,\cdots$ 依次类推．同理可得上述过程对于相反方向也成立：$rwb$ 的前面一定是 $b,\cdots$ 依此类推．
因此，只需确定 $1,2,3$ 的颜色．而这有 $6$ 种不同的方法，这 $6$ 种方法都能够使魔术成功，因为它们的和 $r+w,w+b,b+r$ 给出模 $3$ 的互不相同的余数．
（2）不存在三个连续的数字，其颜色互不相同．假设 $1$ 是红色的．令 $i$ 为最小的不是红色的数字，不妨假设 $i$ 为白色的，再设 $k$ 为最小的蓝色数字，则由假设必有 $i+1<k.$
如果 $k<100$，因为 $i+k=(i-1)+(k+1)$，所以 $k+1$ 一定要是红色的．但又由于 $i+(k+1)=(i+1)+k$，所以 $k+1$ 一定要是蓝色的，与 $k$ 是最小蓝色数字相矛盾．故得 $k$ 必须等于 $100$．换言之，只有 $100$ 是蓝色的相矛盾．
于是，这些数字的颜色必须是 $rww\cdots wwb$．而这种方法确实可行．
如果被选取的两张卡片上的数字之和 $\leqslant 100$，那么没有从中选取卡片的盒子一定是蓝色的；
如果数字之和 $= 101$，那么没有从中选取卡片的盒子一定是白色的；
如果数字之和 $> 101$，那么没有从中选取卡片的盒子一定是红色的．
最后，共有 $6$ 种按照上述样子排列颜色的方法．
故共有 $12$ 种放卡片的方法，使得这个魔术总能够成功．
（1）存在某个 $i$，使得 $i,i+1,i+2$ 的颜色互不相同，例如分别为 $r,w,b$．因 $i+(i+3)=(i+1)+(i+2)$，所以 $i+3$ 的颜色既不能是 $i+1$ 的颜色 $w$，也不能是 $i+2$ 的颜色 $b$，只能是 $r$，可见只要三个相邻的数字有互不相同的颜色，就能够确定下一个数字的颜色．进一步地，这三个数字的颜色模式必定反复出现：$rwb$ 后面一定是 $r$，然后又是 $w,b,\cdots$ 依次类推．同理可得上述过程对于相反方向也成立：$rwb$ 的前面一定是 $b,\cdots$ 依此类推．
因此，只需确定 $1,2,3$ 的颜色．而这有 $6$ 种不同的方法，这 $6$ 种方法都能够使魔术成功，因为它们的和 $r+w,w+b,b+r$ 给出模 $3$ 的互不相同的余数．
（2）不存在三个连续的数字，其颜色互不相同．假设 $1$ 是红色的．令 $i$ 为最小的不是红色的数字，不妨假设 $i$ 为白色的，再设 $k$ 为最小的蓝色数字，则由假设必有 $i+1<k.$
如果 $k<100$，因为 $i+k=(i-1)+(k+1)$，所以 $k+1$ 一定要是红色的．但又由于 $i+(k+1)=(i+1)+k$，所以 $k+1$ 一定要是蓝色的，与 $k$ 是最小蓝色数字相矛盾．故得 $k$ 必须等于 $100$．换言之，只有 $100$ 是蓝色的相矛盾．
于是，这些数字的颜色必须是 $rww\cdots wwb$．而这种方法确实可行．
如果被选取的两张卡片上的数字之和 $\leqslant 100$，那么没有从中选取卡片的盒子一定是蓝色的；
如果数字之和 $= 101$，那么没有从中选取卡片的盒子一定是白色的；
如果数字之和 $> 101$，那么没有从中选取卡片的盒子一定是红色的．
最后，共有 $6$ 种按照上述样子排列颜色的方法．
故共有 $12$ 种放卡片的方法，使得这个魔术总能够成功．
答案
解析
备注
