设 $Oxyz$ 是空间直角坐标系，$S$ 是空间中的一个由有限个点组成的集合，${S}_{x},{S}_{y},{S}_{z}$ 分别是 $S$ 中所有的点在 $Oyz$ 平面，$Ozx$ 平面，$Oxy$ 平面上的正交投影所成的集合．求证：${{\left| S \right|}^{2}}\leqslant \left| {{S}_{x}} \right|\cdot \left| {{S}_{y}} \right|\cdot \left| {{S}_{z}} \right|$，其中 $|A|$ 表示有限集合 $A$ 中的元素数目．（注：所谓一个点在一个平面上的正交投影是指由该点向平面所作垂线的垂足．）（意大利）
【难度】
【出处】
1992年第33届IMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
点集 $S$ 中的点在 $|S_z|$ 条平行于 $z$ 轴的直线上．设各直线上 $S$ 的点数分别为 $t_{ij}((i,j,0\inS_z))$，则由柯西不等式
$\begin{aligned}
|S|^2&=\left(\sum_{(i,j,0)\in S_z}t_{ij}\right)^2\\
&\leqslant \sum_{(i,j,0)\in S_z}1^2\cdot\sum_{(i,j,0)\in S_z}t^2_{ij}\\
&=|S_z|\sum_{(i,j,0)\in S_z}t^2_{ij}
\end{aligned}$ ①
设 $u_i=|\{(i,0,z)\in S_y\}|,v_j=|\{(0,j,k)\in S_x\}|$，则 $\displaystyle u_i\geqslant t_{ij},v_j\geqslant t_{ij},|S_x|=\sum u_i,|S_y|=\sum v_j$，所以
$|S_x|\cdot |S_y|=\sum_{(i,j,0)\in S_z}u_iv_j\geqslant \sum_{(i,j,0)\in S_z}t^2_{ij}$
于是 $|S|^2\leqslant |S_x|\cdot |S_y|\cdot |S_z|$．
$\begin{aligned}
|S|^2&=\left(\sum_{(i,j,0)\in S_z}t_{ij}\right)^2\\
&\leqslant \sum_{(i,j,0)\in S_z}1^2\cdot\sum_{(i,j,0)\in S_z}t^2_{ij}\\
&=|S_z|\sum_{(i,j,0)\in S_z}t^2_{ij}
\end{aligned}$ ①
设 $u_i=|\{(i,0,z)\in S_y\}|,v_j=|\{(0,j,k)\in S_x\}|$，则 $\displaystyle u_i\geqslant t_{ij},v_j\geqslant t_{ij},|S_x|=\sum u_i,|S_y|=\sum v_j$，所以
$|S_x|\cdot |S_y|=\sum_{(i,j,0)\in S_z}u_iv_j\geqslant \sum_{(i,j,0)\in S_z}t^2_{ij}$
于是 $|S|^2\leqslant |S_x|\cdot |S_y|\cdot |S_z|$．
答案
解析
备注
