设 ${x}_{1},{x}_{2},\cdots,{x}_{n}$ 是满足下列条件的实数：$\left| {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+\cdots +{{x}_{n}} \right|=1$，且 $\left| {{x}_{i}} \right|\leqslant \dfrac{n+1}{2}\text{ }i=1,2,\ldots ,n$．求证：存在 ${x}_{1},{x}_{2},\cdots,{x}_{n}$ 的一个排列 $\pi:{y}_{1},{y}_{2},\cdots,{y}_{n}$，使得 $\left| {{y}_{1}}+2{{y}_{2}}+\cdots +n{{y}_{n}} \right|\leqslant \dfrac{n+1}{2}$．（俄罗斯）
【难度】
【出处】
1997年第38届IMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
对于 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 的任意一个排列 $\pi:{y}_{1},{y}_{2},\cdots,{y}_{n}$，记 $S(\pi)$ 为 $y_1+2y_2+\cdots+ny_n$ 的值，令 $r=\dfrac{n+1}{2}$．
设 $\pi_0:x_1,x_2,\cdots,x_n,\tilde{\pi}:x_n,x_{n-1},\cdots,x_1$．如果 $|S(\pi_0)|\leqslant r$ 或者 $|S(\tilde{\pi})|\leqslant r$，那么结论成立．假设 $|S(\pi_0)|>r$，且 $|S(\tilde{\pi})|>r$，则
$|S(\pi_0)|+|S(\tilde{\pi})|=(x_1+2x_2+\cdots+nx_n)+(x_n+2x_{n-1}+\cdots+nx_1)=(n+1)(x_1+x_2+\cdots+x_n)$
从而 $|S(\pi_0)+S(\tilde{\pi})|=n+1=2r$．
由于 $S(\pi_0)$ 与 $S(\tilde{\pi})$ 的绝对值均大于 $r$，所以它们必然取相反的符号，故其中一个大于 $r$，另一个小于 $-r$．
从 $\pi_0$ 开始，通过若干次交换两个相邻元素的位置，可以得到任意一个排列．特别地，存在一个排列的序号：$\pi_0,\pi_1,\cdots,\pi_m$，使得 $\pi_m=\tilde{\pi}$，且对每个 $i\in\{0,1\cdots,m-1\}$，排列 $\pi_{i+1}$ 是通过交换 $\pi_i$ 的两个相邻元素的位置得到的．设 $\pi_i:y_1,y_2,\cdots,y_n$，$\pi_{i+1}$ 是由 $\pi_i$ 交换 $y_k$ 与 $y_{k+1}$ 而得到的，则
$\begin{aligned}
|S(\pi_{i+1})-S(\pi_i)|&=|ky_{k+1}+(k+1)y_k-ky_k-(k+1)y_{k+1}|\\
&=|y_k-y_{k+1}|\\
&\leqslant |y_k|+|y_{k+1}|\leqslant 2r
\end{aligned}$
这说明在序列 $S(\pi_0),S(\pi_1),\cdots,S(\pi_{m})$ 中，任意两个相邻项的差不超过 $2r$，由于 $S(\pi_0)$ 和 $S(\pi_m)$ 均落在区间 $[-r,r]$ 的外面，且位于区间的两侧，所以至少有一个数 $S(\pi_i)$ 落在该区间内，即存在一个排列 $\pi_i$，使得 $|S(\pi_r)|\leqslant r$，从而命题得证．
设 $\pi_0:x_1,x_2,\cdots,x_n,\tilde{\pi}:x_n,x_{n-1},\cdots,x_1$．如果 $|S(\pi_0)|\leqslant r$ 或者 $|S(\tilde{\pi})|\leqslant r$，那么结论成立．假设 $|S(\pi_0)|>r$，且 $|S(\tilde{\pi})|>r$，则
$|S(\pi_0)|+|S(\tilde{\pi})|=(x_1+2x_2+\cdots+nx_n)+(x_n+2x_{n-1}+\cdots+nx_1)=(n+1)(x_1+x_2+\cdots+x_n)$
从而 $|S(\pi_0)+S(\tilde{\pi})|=n+1=2r$．
由于 $S(\pi_0)$ 与 $S(\tilde{\pi})$ 的绝对值均大于 $r$，所以它们必然取相反的符号，故其中一个大于 $r$，另一个小于 $-r$．
从 $\pi_0$ 开始，通过若干次交换两个相邻元素的位置，可以得到任意一个排列．特别地，存在一个排列的序号：$\pi_0,\pi_1,\cdots,\pi_m$，使得 $\pi_m=\tilde{\pi}$，且对每个 $i\in\{0,1\cdots,m-1\}$，排列 $\pi_{i+1}$ 是通过交换 $\pi_i$ 的两个相邻元素的位置得到的．设 $\pi_i:y_1,y_2,\cdots,y_n$，$\pi_{i+1}$ 是由 $\pi_i$ 交换 $y_k$ 与 $y_{k+1}$ 而得到的，则
$\begin{aligned}
|S(\pi_{i+1})-S(\pi_i)|&=|ky_{k+1}+(k+1)y_k-ky_k-(k+1)y_{k+1}|\\
&=|y_k-y_{k+1}|\\
&\leqslant |y_k|+|y_{k+1}|\leqslant 2r
\end{aligned}$
这说明在序列 $S(\pi_0),S(\pi_1),\cdots,S(\pi_{m})$ 中，任意两个相邻项的差不超过 $2r$，由于 $S(\pi_0)$ 和 $S(\pi_m)$ 均落在区间 $[-r,r]$ 的外面，且位于区间的两侧，所以至少有一个数 $S(\pi_i)$ 落在该区间内，即存在一个排列 $\pi_i$，使得 $|S(\pi_r)|\leqslant r$，从而命题得证．
答案
解析
备注
