在某项竞赛中，共有 $a$ 个参赛选手与 $b$ 个裁判，其中 $b\geqslant 3$ 且为奇数．每个裁判对每个选手的评分只有“通过”或“不及格”两个等级．设 $k$ 是满足以下条件的整数：任何两个裁判至多可对 $k$ 个选手有完全相同的评分．求证：$\dfrac{k}{a}\geqslant \dfrac{b-1}{2b}$．（印度）
【难度】
【出处】
1998年第39届IMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
首先，如果两个裁判对某个参赛者有相同的评判，我们就称其为一个"同意"．由已知，任意两个裁判最多对 $k$ 个参赛者有相同的评判，即任意两个裁判最多产生 $k$ 个"同意"．从而"同意"的总数 $S\leqslant kC_b^2$ ①
另一方面，对任意一个参赛者，设有 $x$ 个裁判判他"通过"，而有 $y$ 个裁判判他"不及格"，则 $x+y=b$，且对于这个参赛者来说，有关他的"同意"个数为
$\begin{aligned}
C_x^2+C_y^2&=\frac{x^2+y^2-(x+y)}{2}\\
&=\frac{(x+y)^2+(x-y)^2-2(x+y)}{4}\\
&=\frac{b^2-2b+(x-y)^2}{4}
\end{aligned}$
由于 $b$ 是一个奇数，故 $x-y$ 也是一个奇数，从而 $(x-y)^2\geqslant 1$，所以
$C_x^2+C_y^2\geqslant\dfrac{b^2-2b+1}{4}=\left(\dfrac{b-1}{2}\right)^2$
于是，所有"同意"的个数 $S\geqslant a\cdot\left(\dfrac{b-1}{2}\right)^2 $ ②
由 ①② 便得 $a\cdot \left(\dfrac{b-1}{2}\right)^2\leqslant k\cdot C_b^2$
即 $a\cdot \left(\dfrac{b-1}{2}\right)^2\leqslant k\cdot \dfrac{b(b-1)}{2}$
故 $\dfrac{k}{a}\geqslant \dfrac{b-1}{2b}$．
另一方面，对任意一个参赛者，设有 $x$ 个裁判判他"通过"，而有 $y$ 个裁判判他"不及格"，则 $x+y=b$，且对于这个参赛者来说，有关他的"同意"个数为
$\begin{aligned}
C_x^2+C_y^2&=\frac{x^2+y^2-(x+y)}{2}\\
&=\frac{(x+y)^2+(x-y)^2-2(x+y)}{4}\\
&=\frac{b^2-2b+(x-y)^2}{4}
\end{aligned}$
由于 $b$ 是一个奇数，故 $x-y$ 也是一个奇数，从而 $(x-y)^2\geqslant 1$，所以
$C_x^2+C_y^2\geqslant\dfrac{b^2-2b+1}{4}=\left(\dfrac{b-1}{2}\right)^2$
于是，所有"同意"的个数 $S\geqslant a\cdot\left(\dfrac{b-1}{2}\right)^2 $ ②
由 ①② 便得 $a\cdot \left(\dfrac{b-1}{2}\right)^2\leqslant k\cdot C_b^2$
即 $a\cdot \left(\dfrac{b-1}{2}\right)^2\leqslant k\cdot \dfrac{b(b-1)}{2}$
故 $\dfrac{k}{a}\geqslant \dfrac{b-1}{2b}$．
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解析
备注
