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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
19636 5d1d735b210b28021fc77ecb 高中 解答题 自招竞赛 一项赛事共有 $100$ 位选手参加，对于任意两位选手 $x,y$，他们之间恰比赛一次且分出胜负，以 $x \rightarrow y$ 表示选手 $x$ 战胜选手 $y$．若对任意两位选手 $x,y$，均能找到某个选手序列 $u_{1}, u_{2}, \cdots, u_{k}(k \geqslant 2)$，使得 $x=u_{1} \rightarrow u_{2} \rightarrow \cdots \rightarrow u_{k}=y$，则称该赛事结果为“友好”的．
（1）证明：对任意一个友好的赛事结果，存在正整数 $m$ 满足：对任意两位选手 $x,y$，均能找到某个长度为 $m$ 的选手序列 $z_{1}, z_{2}, \cdots, z_{m}$（$z_{1}, z_{2}, \cdots, z_{m}$ 可重复），使得 $x=z_{1} \rightarrow z_{2} \rightarrow \cdots \rightarrow z_{m}=y$；
（2）对任意一个友好的赛事结果 $T$，将符合（1）中条件的最小正整数 $m$ 记为 $m( T)$，求 $m(T)$ 的最小值．		 2022-04-17 19:23:52
19589 5d1dd45a210b280220ed57c8 高中 解答题 自招竞赛 矩形 $R$ 被分割成 $2 016$ 个小矩形，每个小矩形的边均平行于矩形 $R$ 的边，小矩形的顶点称为“结点”．一条在小矩形边上的线段，若其两个端点均为结点，且其内部不含其他结点，则称这条线段为“基本线段”．考虑所有分割方式，求基本线段条数的最大值和最小值．
如图矩形 $R$ 被分割成五个小矩形，共有 $16$ 条基本线段．线段 $AB、BC$ 为基本线段，线段 $AC$ 不为基本线段．		 2022-04-17 19:55:51
19584 5d22cd60210b28021fc781a7 高中 解答题 自招竞赛 设 $n、k$ 为正整数，$T=\{(x, y, z) | x, y, z \in \mathbf{Z}, 1 \leqslant x, y, z \leqslant n\}$ 为空间直角坐标系中 $n^3$ 个整点构成的集合．已知集合 $T$ 中 $(3n^2-3n + 1) + k$ 个点染成红色，满足：若集合 $T$ 中两点 $P、Q$ 均染成红色且 $PQ$ 平行于坐标轴，则线段 $PQ$ 上的所有整点也均染成红色证明：存在至少 $k$ 个互不相同的立方体，它们的边长为 $1$ 且每个顶点均染成红色． 2022-04-17 19:52:51
19581 5d22cf95210b280220ed5a2f 高中 解答题 自招竞赛 给定奇数 $n\geqslant 3$，用黑白两种颜色对 $ n\times n$ 方格表的每个格染色．称具有相同颜色且有公共顶点的两个格为”相邻的＂．对任意两个格 $a、b$，若存在一系列格 $c_{1}, c_{2}, \cdots, c_{k}$ 使得 $c_{1}=a, c_{k}=b, c_{i}(i=1,2, \cdots, k-1)$ 与 $c_{i+1}$ 相 邻，则称 $a$ 与 $b$ "连通”．求最大正整数 $M$，使得存在一种染色方案，其中有 $M$ 个两两不连通的格． 2022-04-17 19:50:51
19578 5ca5d6c7210b28107f52abd0 高中 解答题 自招竞赛 对全体满足 $a,b,c,d,e\geqslant-1$ 且 $a+b+c+d+e=5$ 的实数．求 $S=(a+b)(b+c)(c+d)(d+e)(e+a)$ 的最大值和最小值． 2022-04-17 19:48:51
19575 5ca5db0c210b28107f52abe7 高中 解答题 自招竞赛 给定一个 $n\times n$ 的 方格表，每个格子中填入一个整数，每次操作选择一个方格，将其同行，同列的 $2n-1$ 个数都加 $1$．求最小 $N(n)$，使得无论开始时方格表内数填的是多少，均可以通过有限此操作使得方格表内至少有 $N(n)$ 个 偶数． 2022-04-17 19:46:51
19559 5d257521210b28021fc7831d 高中 解答题 自招竞赛 将 $16$ 个数 $\dfrac{1}{2002}, \dfrac{1}{2003}, \cdots, \dfrac{1}{2017}$ 分成两组，每组 $8$ 个数记其中一组的 $8$ 个数之和为 $A$，另一组的 $8$ 个数之和为 $B$．请给出一种分组方案使得 $|A-B|$ 最小，并说明理由． 2022-04-17 19:38:51
19544 5d26ad0c210b280220ed5e18 高中 解答题 自招竞赛 设整数 $n\geqslant 3$．将标号为 $1 , 2, \cdots,n^2$ 的 $n^2$ 张卡片放入 $n$ 个盒子中，每个盒子中各有 $n$ 张允许进行如下操作：每次操作选取两个盒子，并从 这两个盒子中各取两张卡片放入对方盒中．证明：不论最初如何放置，总能经过有限次操作．使得每个盒子中卡片的标号是连续的 $n$ 个整数． 2022-04-17 19:31:51
19541 5d282bd1210b280220ed5f7f 高中 解答题 自招竞赛 求最大正整数 $m$，使得可以在 $m$ 行 $8$ 列的方格表的每个方格中填入 $C、G、M、O$ 这 $4$ 个字母之一，并且具有如下性质：对于方格表的任意 不同两行，至多存在一列，使得这两行在此列处的字母相同 2022-04-17 19:30:51
19533 5d2c2010210b280220ed6013 高中 解答题 自招竞赛 给定整数 $n,k,n\geqslant k\geqslant 2$．甲、乙两人在一张每个小方格都是白色的 $n\times n$ 的方格纸上玩游戏：两人轮流选择一个白色小方格将其染为黑色，甲先进行．如果某个人染色后．每个 $k\times k$ 的正方形中都至少有一个黑色小方格．则游戏结束此人获胜．问谁有必胜策略？ 2022-04-17 19:26:51
19532 5d2c2a3e210b28021fc78600 高中 解答题 自招竞赛 设 $9$ 个正整数 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{9}$（可以相同），满足：对任意 $1 \leqslant i<j<k \leqslant 9$，都存在与 $i、j、k$ 不同的 $l$，$1\leqslant l\leqslant 9 $，使得 $ a_{i}+a_{j}+a_{k}+a_{l}=100 $．求满足上述要求的有序九元数组 $ \left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{9}\right)$ 的个数． 2022-04-17 19:25:51
19506 5d2d3bfa210b28021fc786d5 高中 解答题 自招竞赛 定义 $n$ 元整数组的一次变换为：$\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n-1}, a_{n}\right) \rightarrow\left(a_{1}+a_{2}, a_{2}+a_{3}, \cdots, a_{n-1}+a_{n}, a_{n}+a_{1}\right)$．求所有的正整数对 $(n,k)(n,k\geqslant 2)$，满足：对任意的 $n$ 元整数组 $\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right)$，在有限次变换后所得数组中每一个数都是 $k$ 的倍数． 2022-04-17 19:12:51
19492 5d2e8782210b28021fc78772 高中 解答题 自招竞赛 对平面上有 $100$ 条直线．用 $T$ 表示由这些直线中的某三条直线围成的直角三角形的集合．求 $|T|$ 的最大值． 2022-04-17 19:04:51
19484 5d2eb013210b28021fc787d7 高中 解答题 自招竞赛 设 $A_1 , A_2 , A_3 , \ldots$ 是一列集合，满足：对任意正整数 $j$，只有有限多个正整数 $i$，使得 $A_i \subset A_j$．证明：存在一列正整数 $a_1 , a_2 , a_3 , \ldots$，使得对任意正整数 $i,j$，$a_i |a_j$，当且仅当 $A_i \subset A_j$． 2022-04-17 19:59:50
19483 5d2eb0d6210b280220ed62b0 高中 解答题 自招竞赛 给定正整数 $n$，设 $a_1 , a_2 , \ldots , a_n$ 是非负整数序列，若其中连续若干项（可以只有一项）的算术平均值不小于 $1$，则称这些项组成一条"龙"，其中第一项称为"龙头"，最后一项称为"龙尾"．
已知 $a_1 , a_2 , \ldots , a_n$ 中每一项都是"龙头"或者"龙尾"，求 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{n}a_i$ 的最小值．		 2022-04-17 19:59:50
19472 5d2edcf0210b280220ed634d 高中 解答题 自招竞赛 把 $n$（$n\geqslant 2$）枚硬币排成一行．如果存在正面朝上的硬币，那么可以从中选取一枚，将以这枚硬币为左起第一枚的连续奇数枚硬币同时翻面，这称为一次操作．当所有硬币正面朝下时，停止操作．若开始时硬币全部正面朝上，
试问：是否存在一种方案，使得可以进行 $\left\lfloor\dfrac{2^{n+1}}{3}\right\rfloor$ 次操作？		 2022-04-17 19:53:50
19471 5d2ee1e1210b280220ed6369 高中 解答题 自招竞赛 若非空集合 $A\subset \{1,2,3,\ldots,n\}$ 足 $|A|\leqslant \min_{x\in A}x$．则称 $A$ 为 $n$ 级好集合．记 $a_n$ 为 $n$ 级好集合的个数．
求证：对一切正整数 $n$，都有 $a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n}+1$．		 2022-04-17 19:53:50
19469 5d2efe37210b28021fc7888d 高中 解答题 自招竞赛 将一个正 $n$ 边形的 $n$ 条边按顺时针方向依次标上 $1,2,\ldots,n$．求所有的整数 $n\geqslant 4$，使得可以用 $n-3$ 条在内部不交的对角线将这个 $n$ 边形分成 $n-2$ 个三角形区域，并且在这 $n-3$ 条对角线上分别标上一个整数，满足每个三角形的三边所标之数的和都相等． 2022-04-17 19:52:50
19464 5d2fed72210b28021fc788b3 高中 解答题 自招竞赛 证明：在正 $2n-1$ 边形 $(n\geqslant 3)$ 的顶点中，任意取出 $n$ 个点，其中必有 $3$ 个点，以它们为顶点的三角形为等腰三角形． 2022-04-17 19:49:50
19463 5d30152b210b280220ed647c 高中 解答题 自招竞赛 设 $E$ 是一个给定的 $n$ 元集合，$A_1 , A_2 , \ldots ,A_k$ 是 $E$ 的 $k$ 个两两不同的非空子集，满足：对任意的 $1\leqslant i<j\leqslant k$，要么 $A_i$ 与 $A_j$ 的交集为空集，要么 $A_i$ 与 $A_j$ 中的一个是另一个的子集．求 $k$ 的最大值． 2022-04-17 19:49:50
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