重置
序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
20382 5ca41468210b281080bfd863 高中 解答题 自招竞赛 求出所有的正整数 $n$，使得 $20n+2$ 能整除 $2003n+2002$ 2022-04-17 19:18:59
20379 5ca41483210b281080bfd877 高中 解答题 自招竞赛 求所有的正整数数对 $\left( x\text{,}y \right) $，满足 ${{x}^{y}}\text{=}{{y}^{x-y}}$ 2022-04-17 19:16:59
20354 5ca5a65e210b281080bfd9ed 高中 解答题 自招竞赛 设 $m$ 为正整数，如果存在某个正整数 $n$，使得 $m$ 可以表示为 $n$ 和 $n$ 的正约数个数（包括 $1$ 和自身）的商，则称 $m$ 是“好数”。求证：（1）$1\text{,}2\text{,}\cdots \text{,}17$ 都是好数；（2）$18$ 不是好数。 2022-04-17 19:00:59
20312 5cac2d55210b28193dc2e8f0 高中 解答题 自招竞赛 求证：对于每个正整数 $n$，都存在满足下面三个条件的质数 $p$ 和整数 $m$：（1）$p\equiv 5\left( \bmod 6 \right)$；（2）$p\nmid n$；（3）$n\equiv {{m}^{3}}\left( \bmod p \right)$ 。 2022-04-17 19:36:58
20307 5cac2d81210b28193dc2e906 高中 解答题 自招竞赛 试求满足下列条件的大于 $5$ 的最小奇数 $a$：存在正整数 ${{m}_{1}},{{n}_{1}},{{m}_{2}}\text{,}{{n}_{2}}$，使得 $a\text{=}m_{1}^{2}+n_{1}^{2}\text{,}{{a}^{2}}\text{=}m_{2}^{2}+n_{2}^{2}$，且 ${{m}_{1}}-{{n}_{1}}\text{=}{{m}_{2}}-{{n}_{2}}$ 。 2022-04-17 19:33:58
20306 5cac35b8210b28193dc2e932 高中 解答题 自招竞赛 求出所有的正整数 $\text{n}$，使得关于 $\text{x},y$ 的方程 $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{n}$ 恰有2011组满足 $\text{x}\leqslant \text{y}$ 的正整数解。 2022-04-17 19:33:58
20302 5cac35da210b28193dc2e947 高中 解答题 自招竞赛 是否存在正整数 $m$、$n$，使得 ${{m}^{20}}+{{11}^{n}}$ 为完全平方数？请证明你的结论。 2022-04-17 19:31:58
20284 5caeb5cc210b280220ed1bc6 高中 解答题 自招竞赛 求所有的整数对 $(a,b)$，使得存在整数 $d>1$，对任意正整数 $n$，都有 $d\left| {{a}^{n}}+{{b}^{n}}+1 \right.$ 2022-04-17 19:22:58
20280 5caeb5e0210b280220ed1bdc 高中 解答题 自招竞赛 有一个无穷正整数数列 ${{a}_{1}}\leqslant{{a}_{2}}\leqslant {{a}_{3}}\leqslant \cdots $ 。已知存在正整数 $k$ 和 $r$，使得 $\frac{r}{{{a}_{r}}}=k+1$，求证：存在正整数 $s$，使得 $\frac{s}{{{a}_{s}}}=k$ 。 2022-04-17 19:20:58
20279 5caeb5eb210b280220ed1be1 高中 解答题 自招竞赛 集合 $\left\{ 0,1,2,\cdots ,2012\right\}$ 中有多少个元素 $k$，使得 $C_{2012}^{k}$ 是2012的倍数？ 2022-04-17 19:19:58
20276 5caecd6e210b280220ed1c1c 高中 解答题 自招竞赛 在 $n$ 名学生中，每名学生恰认识 $d$ 名男生和 $d$ 名女生（认识是相互的）。求所有可能的正整数数对 $(n,d)$ 。 2022-04-17 19:18:58
19957 5ce4f1cb210b280220ed32ea 高中 解答题 自招竞赛 设 $n,k,m$ 是正整数，满足 $k\geqslant 2$，且 $n\leqslant m<\dfrac{2k-1}{k}n$．设 $A$ 是 $\{1,2,\cdots,m\}$ 的 $n$ 元子集．
证明：区间 $(0,\dfrac{n}{k-1})$ 中每个整数均可表示为 $a-a^\prime$，其中 $a,a^\prime\in A$．		 2022-04-17 19:16:55
19956 5ce4f293210b280220ed32ef 高中 解答题 自招竞赛 数列 $\{a_n\}$ 定义如下：$a_1$ 是任意正整数，对整数 $n\geqslant 1$，$a_{n+1}$ 是与 $\displaystyle\sum_{i=1}^na_i$ 互素，且不等于 $a_1,\cdots,a_n$ 的最小整数．
证明：每个正整数均在数列 $\{a_n\}$ 中出现．		 2022-04-17 19:15:55
19952 5ce63b21210b28021fc76694 高中 解答题 自招竞赛 给定整数 $a\geqslant 2$．证明：对任意正整数 $n$，存在正整数 $k$，使得连续 $n$ 个数 $a^k+1,a^k+2,\cdots,a^k+n$ 均是合数． 2022-04-17 19:13:55
19915 5cef6f6b210b280220ed39f3 高中 解答题 自招竞赛 $m$ 个互不相同的正偶数与 $n$ 个互不相同的正奇数的总和为 $1987$，对于所有这样的 $m$ 与 $n$，问 $3m+4n$ 的最大值是多少？请证明你的结论． 2022-04-17 19:48:54
19872 5cf49505210b280220ed3d00 高中 解答题 自招竞赛 设 $x$ 是一个自然数．若一串自然数 $x_{0}=1, x_{1}, x_{2}, \cdots,x_{l-1}, x_{l}=x$，满足 $x_{i-1}<x_{i}, x_{i-1} | x_{i}, i=1,2, \cdots, l$．则称 $\{x_{0},x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{l} \}$ 为 $x$ 的一条因子链，$l$ 为该因子链的长度．$L(x)$ 与 $R(x)$ 分别表示 $x$ 的最长因子链的长度和最长因子链的条数．对于 $x=5^{k} \times 31^{m} \times 1990^{n}$（k，m，n是自然数），试求 $L(x)$ 与 $R(x)$． 2022-04-17 19:27:54
19853 5cf60ef1210b28021fc76e18 高中 解答题 自招竞赛 求所有自然数 $n$，使得 $\min\limits _{k \in \mathbf{N}}\left(k^{2}+\left[\dfrac{n}{k^{2}}\right]\right)=1991$ 这里 $\left[\dfrac{n}{k^{2}}\right]$ 表示不超过 $\dfrac{n}{k^{2}}$ 的最大整数，$N$ 是自然数集． 2022-04-17 19:20:54
19844 5cf8b564210b280220ed4008 高中 解答题 自招竞赛 设 $n$ 是奇数，试证明：存在 $2n$ 个整数 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n} ; b_{1},b_{2}, \cdots, b_{n}$，使得对任意一个整数 $k, 0<k<n$，下列 $3n$ 个数 $a_{i}+a_{i+1}, a_{i}+b_{i}, b_{i}+b_{i+k}$（其中 $i=1,2, \cdots, n, a_{n+1}=a_{1}, b_{n+j}=b_{i}, 0<j<n$）被 $3n$ 除时所得余数互不相同． 2022-04-17 19:15:54
19821 5d01adf5210b280220ed430f 高中 解答题 自招竞赛 设 $n$ 是大于 $1$ 的奇数，已给 $x_{0}=\left(x_{1}^{(0)}, x_{2}^{(0)}, x_{n}^{(0)}\right)=(1,0, \cdots, 0,1)$ 设 $x_{i}^{k}=\left\{\begin{array}{l}{0, x_{i}^{(k-1)}=x_{i+1}^{k-1}} \\ {1, x_{i}^{(k-1)} \neq x_{i+1}^{k-1}, i=1,2, \cdots, n}\end{array}\right.$ 其中 $x_{n+1}^{k-1}=x_{1}^{k-1}$，记 $x_{k}=\left(x_{1}^{(k)}, x_{2}^{(k)}, \cdots, x_{n}^{(k)}\right), k=1,2, \cdots$ 若正整数 $m$ 满足 $x_{m}=x_{0}$，求证 $m$ 是 $n$ 的倍数． 2022-04-17 19:03:54
19808 5d0334ea210b280220ed453a 高中 解答题 自招竞赛 对于给定的大于 $1$ 的正整数 $ n$，是否存在 $2n$ 个两两不同的正整数 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}, b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}$，同时满足以下两个条件：
（1）$a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}=b_{1}+b_{2}+\cdots+b_{n}$；
（2）$\displaystyle n-1>\sum\limits_{i=1}^{n} \dfrac{a_{i}-b_{i}}{a_{i}+b_{i}}>n-1-\dfrac{1}{1998}$．
请说明理由		 2022-04-17 19:54:53
0.180820s