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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
19180 5d47efe5210b28021fc793f7 高中 解答题 自招竞赛 设整数 $a,b,c$ 与实数 $r$ 满足：$ar^2 +br+c=0$，$ac\neq 0$．
证明：$\sqrt{r^2 + c^2}$ 是无理数．		 2022-04-17 19:18:48
19157 5d4918ef210b280220ed73e3 高中 解答题 自招竞赛 设 $n$ 为正整数，非负实数 $x_1 , x_2 , \ldots , x_n$ 满足：$x_i x_j \leqslant 4^{-|i-j|}$（$1\leqslant i,j\leqslant n$）．
证明：$x_1 + x_2 +\ldots + x_n <\dfrac{5}{3}$．		 2022-04-17 19:04:48
19156 5d491918210b28021fc7947f 高中 解答题 自招竞赛 设 $n$ 是大于 $1$ 的整数，正实数 $x_1 , x_2 , \ldots , x_n$ 满足：$x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}=1$．
证明：$\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{n} \dfrac{x_{i}}{x_{i+1}-x_{i+1}^{3}} \geqslant \dfrac{n^{3}}{n^{2}-1}$，其中 $x_{n+1}=x_1$．		 2022-04-17 19:04:48
19144 5d4937b7210b28021fc794c5 高中 解答题 自招竞赛 实数 $a, b$ 使得方程 $x^3 - a x^2 + b x - a =0$ 有三个正实根．求 $\dfrac{2 a^{3}-3 a b+3 a}{b+1}$ 的最小值． 2022-04-17 19:58:47
19142 5d493ab9210b280220ed745d 高中 解答题 自招竞赛 数列 $\{a_n \}$ 满足：$a_1 =1,a_2 =2,a_{n+1}=\dfrac{a_{n}^{2}+(-1)^{n}}{a_{n-1}}$（$n=2,3,\ldots$）．
证明：该数列任意两个相邻项的平方和仍是该数列中的一个项．		 2022-04-17 19:57:47
19140 5d4943ba210b280220ed747b 高中 解答题 自招竞赛 设 $f(x)=\left[\dfrac{x}{1 !}\right]+\left[\dfrac{x}{2 !}\right]+\ldots+\left[\dfrac{x}{2013 !}\right]$，$[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数．对整数 $n$，若关于 $x$ 的方程 $f(x)=n$ 有实数解，则称 $n$ 为好数．求集合 $\{1,3,5,\ldots,2013\}$ 中好数的个数． 2022-04-17 19:57:47
19139 5d4945ca210b28021fc79509 高中 解答题 自招竞赛 设 $n$ 为大于 $1$ 的整数，将前 $n$ 个素数从小到大依次记为 $p_1 , p_2 ,\ldots, p_n$（即 $p_1 =2, p_2 =3,\ldots$）令 $A=p_{1}^{p_1}p_{2}^{p_2}\ldots p_{n}^{p_n}$．求所有正整数 $x$，使得 $\dfrac{A}{x}$ 为偶数，且 $\dfrac{A}{x}$ 恰有 $x$ 个不同的正约数． 2022-04-17 19:56:47
19137 5d495af4210b280220ed74bb 高中 解答题 自招竞赛 设整数 $n\geqslant 3$，$\alpha,\beta,\gamma\in(0,1)$，$a_k , b_k , c_k \geqslant 0$（$k=1,2,\ldots,n$）满足
$\displaystyle
\sum\limits_{k=1}^{n}(k+\alpha) a_{k} \leqslant \alpha,~~ \sum_{k=1}^{n}(k+\beta) b_{k} \leqslant \beta,~~ \sum_{k=1}^{n}(k+\gamma) c_{k} \leqslant \gamma
$
若对任意满足上述条件的 $a_k , b_k , c_k$（$k=1,2,\ldots,n$），均有 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n}(k+\lambda) a_{k} b_{k} c_{k} \leqslant \lambda$，求 $\lambda$ 的最小值．		 2022-04-17 19:55:47
19129 5d4a31ed210b28021fc7953f 高中 解答题 自招竞赛 求一个正整数组 $(l,m,n)(1<l<m<n)$，使得 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{l}k,\sum_{k=l+1}^{m}k,\sum_{k=m+1}^{n}k$ 依次成等比数列． 2022-04-17 19:50:47
19126 5d4a3a1c210b280220ed751f 高中 解答题 自招竞赛 已知实数 $a,b,c,d$ 满足：对任意实数 $x$，均有 $a \cos x+b \cos 2 x+c \cos 3 x+d \cos 4 x \leqslant 1$
求 $a+b-c+d$ 的最大值．当 $a+b-c+d$ 取最大值时，求实数 $a,b,c,d$ 的值．		 2022-04-17 19:48:47
19124 5d4a3e12210b280220ed753c 高中 解答题 自招竞赛 求正整数 $n$ 的最小值，使得 $
\sqrt{\dfrac{n-2011}{2012}}-\sqrt{\dfrac{n-2012}{2011}}<\sqrt[3]{\dfrac{n-2013}{2011}}-\sqrt[3]{\dfrac{n-2011}{2013}}
$		 2022-04-17 19:47:47
19107 5d4a6a20210b28021fc7959f 高中 解答题 自招竞赛 已知 $\min\limits _{x \in \mathbf{R}} \dfrac{a x^{2}+b}{\sqrt{x^{2}+1}}=3$
（1）求 $b$ 的取值范围；
（2）对给定的 $b$，求 $a$．		 2022-04-17 19:38:47
19102 5d4aade6210b280220ed75f3 高中 解答题 自招竞赛 设 $P_1,P_2,\cdots,P_n$ 为平面上 $n$ 个定点，$M$ 是该平面内线段 $AB$ 上任一点，记 $|P_iM|$ 为点 $P_i$ 与 $M$ 的距离，$i=1,2,3,\cdots,n$．证明：$\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{n}\left|P_{i} M\right| \leqslant \max \left\{\sum_{i=1}^{n}\left|P_{i} A\right|, \sum_{i=1}^{n}\left|P_{i} B\right|\right\}$． 2022-04-17 19:36:47
19101 5d4aaf8e210b28021fc79614 高中 解答题 自招竞赛 设数列 $\{a_n\}$ 满足：$a_{1}=a_{2}=1, a_{n}=7 a_{n-1}-a_{n-2}, n \geqslant 3$，证明：对于每个 $n \in \mathbf{N}^{*}, a_{n}+a_{n+1}+2$ 皆为完全平方数． 2022-04-17 19:35:47
19044 5d4d0a6c210b280220ed7773 高中 解答题 自招竞赛 设 $\mathbf{N}^{\ast}$ 为正数集合，定义：$a_1=2,a_{n+1}=\min\left\{\lambda|\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\cdots+\dfrac{1}{a_n}+\dfrac{1}{\lambda}<1,\lambda\in\mathbf{N}^{\ast}\right\},n=1,2,\cdots$．求证：$a_{n+1}=a_n^2-a_n+1$． 2022-04-17 19:05:47
19043 5d4d12d1210b280220ed77a3 高中 解答题 自招竞赛 设 $n$ 是一个正整数，实数 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 和 $r_1,r_2,\cdots,r_n$ 满足：$a_1\leqslant a_2\leqslant \cdots\leqslant a_n$ 和 $r_1\leqslant r_2\leqslant \cdots\leqslant r_n$，求证：$\displaystyle \sum\limits_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_ia_j\min(r_i,r_j)\geqslant 0$． 2022-04-17 19:04:47
18993 5d50d1df210b280220ed78a2 高中 解答题 自招竞赛 设 $x,y,z\in R^+,\sqrt{a}=x(y-z)^2,\sqrt{b}=y(z-x)^2,\sqrt{c}=z(x-y)^2$．求证：$a^2+b^2+c^2\geqslant 2(ab+bc+ca)$． 2022-04-17 19:37:46
18991 5d50f26d210b28021fc798a6 高中 解答题 自招竞赛 设 $1,2,\cdots,9$ 的所有排列 $X=(x_1,x_2,\cdots,x_9)$ 的集合为 $A$；$\forall X\in A$，记 $f(X)=x_1+2x_2+3x_3+\cdots+9x_9$，$M=\{f(X)|X\in A\}$；求 $|M|$．（其中 $|M|$ 表示集合 $M$ 的元素个数） 2022-04-17 19:35:46
18989 5d510882210b280220ed7911 高中 解答题 自招竞赛 设 $f(x,y,z)=\dfrac{x(2y-z)}{1+x+3y}+\dfrac{y(2z-x)}{1+y+3z}+\dfrac{z(2x-y)}{1+z+3x}$，其中 $x,y,z\geqslant 0$，且 $x+y+z=1$．求 $f(x,y,z)$ 的最大值和最小值． 2022-04-17 19:34:46
18978 5d51275c210b28021fc79912 高中 解答题 自招竞赛 设数列 $\{a_n\}$ 满足：$a_1=1,a_{n+1}=2a_n+n\cdot(1+2^n),n=1,2,3,\cdots$．试求通项 $a_n$ 的表达式． 2022-04-17 19:29:46
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