求正整数 $n$ 的最小值，使得 $
\sqrt{\dfrac{n-2011}{2012}}-\sqrt{\dfrac{n-2012}{2011}}<\sqrt[3]{\dfrac{n-2013}{2011}}-\sqrt[3]{\dfrac{n-2011}{2013}}
$
\sqrt{\dfrac{n-2011}{2012}}-\sqrt{\dfrac{n-2012}{2011}}<\sqrt[3]{\dfrac{n-2013}{2011}}-\sqrt[3]{\dfrac{n-2011}{2013}}
$
【难度】
【出处】
2012中国东南数学奥林匹克试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
由已知得，必有 $n\geqslant 2013$，此时
$\begin{aligned} & \sqrt{\frac{n-2011}{2012}}<\sqrt{\frac{n-2012}{2011}} \\ \Leftrightarrow & 2011(n-2011)<2012(n-2012) \\ \Leftrightarrow & n>4023 \end{aligned}$ ①
$\begin{aligned} & \sqrt[3]{\frac{n-2013}{2011}} \geqslant \sqrt[3]{\frac{n-2011}{2013}} \\ \Leftrightarrow & 2013(n-2013) \geqslant 2011(n-2011) \\ \Leftrightarrow & n \geqslant 4024 \end{aligned}$ ②
由 ①，② 知，当 $ n\geqslant 4024 $ 时，有
$\sqrt{\dfrac{n-2011}{2012}}-\sqrt{\dfrac{n-2012}{2011}}<0 \leqslant \sqrt[3]{\dfrac{n-2013}{2011}}-\sqrt[3]{\dfrac{n-2011}{2013}}$
当 $ 2013\leqslant n\leqslant 4023 $ 时，有
$
\sqrt{\dfrac{n-2011}{2012}}-\sqrt{\dfrac{n-2012}{2011}} \geqslant 0>\sqrt[3]{\dfrac{n-2013}{2011}}-\sqrt[3]{\dfrac{n-2011}{2013}}
$
综上可知，满足条件的正整数 $ n $ 的最小值为 $ 4024$．
$\begin{aligned} & \sqrt{\frac{n-2011}{2012}}<\sqrt{\frac{n-2012}{2011}} \\ \Leftrightarrow & 2011(n-2011)<2012(n-2012) \\ \Leftrightarrow & n>4023 \end{aligned}$ ①
$\begin{aligned} & \sqrt[3]{\frac{n-2013}{2011}} \geqslant \sqrt[3]{\frac{n-2011}{2013}} \\ \Leftrightarrow & 2013(n-2013) \geqslant 2011(n-2011) \\ \Leftrightarrow & n \geqslant 4024 \end{aligned}$ ②
由 ①，② 知，当 $ n\geqslant 4024 $ 时，有
$\sqrt{\dfrac{n-2011}{2012}}-\sqrt{\dfrac{n-2012}{2011}}<0 \leqslant \sqrt[3]{\dfrac{n-2013}{2011}}-\sqrt[3]{\dfrac{n-2011}{2013}}$
当 $ 2013\leqslant n\leqslant 4023 $ 时，有
$
\sqrt{\dfrac{n-2011}{2012}}-\sqrt{\dfrac{n-2012}{2011}} \geqslant 0>\sqrt[3]{\dfrac{n-2013}{2011}}-\sqrt[3]{\dfrac{n-2011}{2013}}
$
综上可知，满足条件的正整数 $ n $ 的最小值为 $ 4024$．
答案
解析
备注
