设 $f(x)=\left[\dfrac{x}{1 !}\right]+\left[\dfrac{x}{2 !}\right]+\ldots+\left[\dfrac{x}{2013 !}\right]$，$[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数．对整数 $n$，若关于 $x$ 的方程 $f(x)=n$ 有实数解，则称 $n$ 为好数．求集合 $\{1,3,5,\ldots,2013\}$ 中好数的个数．
【难度】
【出处】
2013中国东南数学奥林匹克试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
先指出两个明显的结论：
（a）若 $m$ 为正整数，$x$ 为实数，则 $[\frac{x}{m}]=[\frac{[x]}{m}]$；
（b）对任意整数 $l$ 与正偶数 $m$，有 $\left[\frac{2 l+1}{m}\right]=\left[\frac{2 l}{m}\right]$．
下面我们求解原问题．
在结论（a）中令 $m=k!$（$k=1,2,\ldots,2013$）并求和，可知
$\displaystyle
f(x)=\sum\limits_{k=1}^{2013}\left[\dfrac{x}{k !}\right]=\sum_{k=1}^{20013}\left[\dfrac{[x]}{k !}\right]=f([x])
$
这表明方程 $f(x)=n$ 有实数解当且仅当方程 $f(x)=n$ 有整数解．
以下只需考虑 $x$ 为整数的情况．由于
$\begin{aligned} f(x+1)-f(x) &=[x+1]-[x]+\sum_{k=2}^{2013}\left(\left[\frac{x+1}{k !}\right]-\left[\frac{x}{k !}\right]\right) \geqslant 1 \end{aligned}$ ①
所以 $f(x)$（$x\in\mathbb{Z}$）单调递増．下面找整数 $a,b$，使得
$\begin{aligned}{f(a-1)<0 \leqslant f(a)<f(a+1)<\cdots} {<f(b-1)<f(b) \leqslant 2013<f(b+1)}\end{aligned}$
注意到 $f(-1)<0=f(0)$，所以 $a=0$．又由于
$\begin{aligned} f(1173) &=\sum_{k=1}^{6}\left[\frac{1173}{k !}\right] \\ &=1173+586+195+48+9+1 \\ &=2012 \leqslant 2013 \\ f(1174) &=\sum_{k=1}^{6}\left[\frac{1174}{k !}\right] \\ &=1174+587+195+48+9+1 \\ &=2014>2013 \end{aligned}$
故 $b=1173$．
因此 $\{1,3,5,\ldots,2013\}$ 中的好数就是 $\{f(0),f(1),\ldots,f(1173)\}$ 中的奇数．
在 ① 中令 $x=2l$（$l=0,1,\ldots,586$），由结论（b）知
$
\left[\dfrac{2 l+1}{k !}\right]=\left[\dfrac{2 l}{k !}\right]~~~~(2 \leqslant k \leqslant 2013)$
因此 $\displaystyle
f(2 l+1)-f(2 l)=1+\sum\limits_{k=2}^{\operatorname{ma1}}\left(\left[\frac{2 l+1}{k !}\right]-\left[\frac{2 l}{k !}\right]\right)=1
$．
这说明 $f(2l), f(2l+1)$ 中恰有一个为奇数，从而 $\{f(0), f(1), \ldots, f(1173)\}$ 中恰有 $\frac{1174}{2}=587$ 个奇数，即集合 $\{1,3,5,\ldots,2013\}$ 中的好数有 $587$ 个．
（a）若 $m$ 为正整数，$x$ 为实数，则 $[\frac{x}{m}]=[\frac{[x]}{m}]$；
（b）对任意整数 $l$ 与正偶数 $m$，有 $\left[\frac{2 l+1}{m}\right]=\left[\frac{2 l}{m}\right]$．
下面我们求解原问题．
在结论（a）中令 $m=k!$（$k=1,2,\ldots,2013$）并求和，可知
$\displaystyle
f(x)=\sum\limits_{k=1}^{2013}\left[\dfrac{x}{k !}\right]=\sum_{k=1}^{20013}\left[\dfrac{[x]}{k !}\right]=f([x])
$
这表明方程 $f(x)=n$ 有实数解当且仅当方程 $f(x)=n$ 有整数解．
以下只需考虑 $x$ 为整数的情况．由于
$\begin{aligned} f(x+1)-f(x) &=[x+1]-[x]+\sum_{k=2}^{2013}\left(\left[\frac{x+1}{k !}\right]-\left[\frac{x}{k !}\right]\right) \geqslant 1 \end{aligned}$ ①
所以 $f(x)$（$x\in\mathbb{Z}$）单调递増．下面找整数 $a,b$，使得
$\begin{aligned}{f(a-1)<0 \leqslant f(a)<f(a+1)<\cdots} {<f(b-1)<f(b) \leqslant 2013<f(b+1)}\end{aligned}$
注意到 $f(-1)<0=f(0)$，所以 $a=0$．又由于
$\begin{aligned} f(1173) &=\sum_{k=1}^{6}\left[\frac{1173}{k !}\right] \\ &=1173+586+195+48+9+1 \\ &=2012 \leqslant 2013 \\ f(1174) &=\sum_{k=1}^{6}\left[\frac{1174}{k !}\right] \\ &=1174+587+195+48+9+1 \\ &=2014>2013 \end{aligned}$
故 $b=1173$．
因此 $\{1,3,5,\ldots,2013\}$ 中的好数就是 $\{f(0),f(1),\ldots,f(1173)\}$ 中的奇数．
在 ① 中令 $x=2l$（$l=0,1,\ldots,586$），由结论（b）知
$
\left[\dfrac{2 l+1}{k !}\right]=\left[\dfrac{2 l}{k !}\right]~~~~(2 \leqslant k \leqslant 2013)$
因此 $\displaystyle
f(2 l+1)-f(2 l)=1+\sum\limits_{k=2}^{\operatorname{ma1}}\left(\left[\frac{2 l+1}{k !}\right]-\left[\frac{2 l}{k !}\right]\right)=1
$．
这说明 $f(2l), f(2l+1)$ 中恰有一个为奇数，从而 $\{f(0), f(1), \ldots, f(1173)\}$ 中恰有 $\frac{1174}{2}=587$ 个奇数，即集合 $\{1,3,5,\ldots,2013\}$ 中的好数有 $587$ 个．
答案
解析
备注
