设 $P_1,P_2,\cdots,P_n$ 为平面上 $n$ 个定点，$M$ 是该平面内线段 $AB$ 上任一点，记 $|P_iM|$ 为点 $P_i$ 与 $M$ 的距离，$i=1,2,3,\cdots,n$．证明：$\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{n}\left|P_{i} M\right| \leqslant \max \left\{\sum_{i=1}^{n}\left|P_{i} A\right|, \sum_{i=1}^{n}\left|P_{i} B\right|\right\}$．
【难度】
【出处】
2011中国东南数学奥林匹克试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
设原点为 $O$，则有
$\begin{aligned} \overrightarrow{O M}=& t \overrightarrow{O A}+(1-t) \overrightarrow{O B}, t \in(0,1) \\|P_i M| &=\left|\overrightarrow{O M}-\overrightarrow{O P_{i}}\right| \\ &=\left|t \overrightarrow{O A}+(1-t) \overrightarrow{O B}-t \overrightarrow{O P_{i}}-(1-t) \overrightarrow{O P_{i}}\right| \\ & \leqslant t\left|\overrightarrow{O A}-\overrightarrow{O P_{i}}\right|+(1-t)\left|\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O P_{i}}\right| \\ &=t\left|P_{i} A\right|+(1-t)\left|P_{i} B\right| \end{aligned}$
因此
$\begin{aligned} \sum_{i=1}^{n}\left|P_{i} M\right| & \leqslant t \sum_{i=1}^{n}\left|P_{i} A\right|+(1-t) \sum_{i=1}^{n}\left|P_{i} B\right| \leqslant \max \left\{\sum_{i=1}^{n}\left|P_{i} A\right|, \sum_{i=1}^{n}\left|P_{i} B\right|\right\} \end{aligned}$．
$\begin{aligned} \overrightarrow{O M}=& t \overrightarrow{O A}+(1-t) \overrightarrow{O B}, t \in(0,1) \\|P_i M| &=\left|\overrightarrow{O M}-\overrightarrow{O P_{i}}\right| \\ &=\left|t \overrightarrow{O A}+(1-t) \overrightarrow{O B}-t \overrightarrow{O P_{i}}-(1-t) \overrightarrow{O P_{i}}\right| \\ & \leqslant t\left|\overrightarrow{O A}-\overrightarrow{O P_{i}}\right|+(1-t)\left|\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O P_{i}}\right| \\ &=t\left|P_{i} A\right|+(1-t)\left|P_{i} B\right| \end{aligned}$
因此
$\begin{aligned} \sum_{i=1}^{n}\left|P_{i} M\right| & \leqslant t \sum_{i=1}^{n}\left|P_{i} A\right|+(1-t) \sum_{i=1}^{n}\left|P_{i} B\right| \leqslant \max \left\{\sum_{i=1}^{n}\left|P_{i} A\right|, \sum_{i=1}^{n}\left|P_{i} B\right|\right\} \end{aligned}$．
答案
解析
备注
