实数 $a, b$ 使得方程 $x^3 - a x^2 + b x - a =0$ 有三个正实根．求 $\dfrac{2 a^{3}-3 a b+3 a}{b+1}$ 的最小值．
【难度】
【出处】
2013中国东南数学奥林匹克试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
设方程 $x^3 -ax^2 +bx-a=0$ 的三个正实根分别为 $x_1 , x_2 , x_3$，则由根与系数的关系可得
$\begin{aligned}&{x_{1}+x_{2}+x_{3}=a} \\ &{x_{1} x_{2}+x_{2} x_{3}+x_{1} x_{3}=b} \\ &{x_{1} x_{2} x_{3}=a}\end{aligned}$
故 $a>0,b>0$．
由 $\left(x_{1}+x_{2}+x_{3}\right)^{2} \geqslant 3\left(x_{1} x_{2}+x_{2} x_{3}+x_{1} x_{3}\right)$ 知 $a^2 \geqslant 3b$．
又由 $a=x_{1}+x_{2}+x_{3} \geqslant 3 \sqrt[3]{x_{1} x_{2} x_{3}}=3 \sqrt[3]{a}$ 知 $a\geqslant 3\sqrt{3}$．
因此
$\begin{aligned} \frac{2 a^{3}-3 a b+3 a}{b+1} &=\frac{a\left(a^{2}-3 b\right)+a^{3}+3 a}{b+1} \\ & \geqslant \frac{a^{3}+3 a}{b+1} \geqslant \frac{a^{3}+3 a}{\frac{a^{2}}{3}+1} \\ &=3 a \geqslant 9 \sqrt{3} \end{aligned}$
当 $a=3\sqrt{3}$，$b=9$，即方程三个根均为 $\sqrt{3}$ 时等号成立．
综上所述，所求的最小值为 $9\sqrt{3}$．
$\begin{aligned}&{x_{1}+x_{2}+x_{3}=a} \\ &{x_{1} x_{2}+x_{2} x_{3}+x_{1} x_{3}=b} \\ &{x_{1} x_{2} x_{3}=a}\end{aligned}$
故 $a>0,b>0$．
由 $\left(x_{1}+x_{2}+x_{3}\right)^{2} \geqslant 3\left(x_{1} x_{2}+x_{2} x_{3}+x_{1} x_{3}\right)$ 知 $a^2 \geqslant 3b$．
又由 $a=x_{1}+x_{2}+x_{3} \geqslant 3 \sqrt[3]{x_{1} x_{2} x_{3}}=3 \sqrt[3]{a}$ 知 $a\geqslant 3\sqrt{3}$．
因此
$\begin{aligned} \frac{2 a^{3}-3 a b+3 a}{b+1} &=\frac{a\left(a^{2}-3 b\right)+a^{3}+3 a}{b+1} \\ & \geqslant \frac{a^{3}+3 a}{b+1} \geqslant \frac{a^{3}+3 a}{\frac{a^{2}}{3}+1} \\ &=3 a \geqslant 9 \sqrt{3} \end{aligned}$
当 $a=3\sqrt{3}$，$b=9$，即方程三个根均为 $\sqrt{3}$ 时等号成立．
综上所述，所求的最小值为 $9\sqrt{3}$．
答案
解析
备注
