设 $n$ 是一个正整数，实数 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 和 $r_1,r_2,\cdots,r_n$ 满足：$a_1\leqslant a_2\leqslant \cdots\leqslant a_n$ 和 $r_1\leqslant r_2\leqslant \cdots\leqslant r_n$，求证：$\displaystyle \sum\limits_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_ia_j\min(r_i,r_j)\geqslant 0$．
【难度】
【出处】
2010中国东南数学奥林匹克试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
作一张 $n\times n$ 的表：
$A_1=\begin{pmatrix}a_1a_1r_1 & a_1a_2r_1&a_1a_3r_1&\cdots&a_1a_nr_1 \\a_2a_1r_1 & a_2a_2r_2&a_2a_3r_2&\cdots&a_2a_nr_2\\a_3a_1r_1 & a_3a_2r_2&a_3a_3r_3&\cdots&a_3a_nr_3\\
\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\a_na_1r_1 & a_na_2r_2&a_na_3r_3&\cdots&a_na_nr_n
\end{pmatrix}$
由于 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_ia_j\min(r_i,r_j)=\sum\limits_{j=1}^na_1a_j\min(r_1,r_j)+\sum\limits_{j=1}^na_2a_j\min(r_2,r_j)+\cdots+\sum\limits_{j=1}^na_ka_j\min(r_k,r_j)+\cdots+\sum\limits_{i=1}^na_na_j\min(r_n,r_j)$
它的第 $k$ 项 $\displaystyle \sum\limits_{j=1}^na_ka_j\min(r_k,r_j)=a_ka_1r_1+a_ka_2r_2+\cdots+a_ka_kr_k+a_ka_{k+1}r_k+\cdots+a_ka_nar_k$ 就是表中第 $k$ 行各元素的和，$k=1,2,\cdots,n$．
因此 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_ia_j\min(r_i,r_j)$ 就是表 $A_1$ 中所有元素的和．
另外，此和也可以按以下方式求得：先取出表 $A_i$ 中第一行，第一行的各元素，并求其和；剩下的表记为 $A_2$（相当于删去 $A_1$ 中的第一行和第一列而得到 $A_2$），再取出表 $A_2$ 中第一行，第一列的各元素，并求其和；剩下的表记为 $A_3$（相当于删去 $A_2$ 中的第一行和第一列而得到 $A_3$），再取出表 $A_3$ 中第一行，第一列的各元素，并求其和 $\cdots\cdots$ 如此得
$\displaystyle \sum\limits_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_ia_j\min(r_i,r_j)$
$\displaystyle =\sum\limits_{k=1}^nr_k(a^2_k+2a_k(a_{k+1}+a_{k+2}+\cdots+a_n))$（这是 $A_k$ 中第一行第一列各元素的和）
$=\displaystyle \sum\limits
_{k=1}^nr_k\left(\left(a_k+\sum_{i=k+1}^na_i\right)^2-\left(\sum_{i=k+1}^na_i\right)^2\right)$
$=\displaystyle \sum\limits
_{k=1}^nr_k\left(\left(\sum_{i=k}^na_i\right)^2-\left(\sum_{i=k+1}^na_i\right)^2\right)$
$\displaystyle =r_1(\sum\limits_{i=1}^na_i)^2+r_2(\sum_{i=2}^na_i)^2+r_3(\sum_{i=3}^na_i)^2+\cdots+r_n(\sum_{i=n}^na_i)^2-r_1(\sum_{i=2}^na_i)^2-r_2(\sum_{i=3}^na_i)^2-\cdots-r_{n-1}(\sum_{i=n}^na_i)^2$
$\displaystyle =\sum\limits_{k=1}^n(r_k-r_{k-1})(\sum_{i=k}^na_i)^2\geqslant 0$（此处约定 $r_0=0$）
$A_1=\begin{pmatrix}a_1a_1r_1 & a_1a_2r_1&a_1a_3r_1&\cdots&a_1a_nr_1 \\a_2a_1r_1 & a_2a_2r_2&a_2a_3r_2&\cdots&a_2a_nr_2\\a_3a_1r_1 & a_3a_2r_2&a_3a_3r_3&\cdots&a_3a_nr_3\\
\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\a_na_1r_1 & a_na_2r_2&a_na_3r_3&\cdots&a_na_nr_n
\end{pmatrix}$
由于 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_ia_j\min(r_i,r_j)=\sum\limits_{j=1}^na_1a_j\min(r_1,r_j)+\sum\limits_{j=1}^na_2a_j\min(r_2,r_j)+\cdots+\sum\limits_{j=1}^na_ka_j\min(r_k,r_j)+\cdots+\sum\limits_{i=1}^na_na_j\min(r_n,r_j)$
它的第 $k$ 项 $\displaystyle \sum\limits_{j=1}^na_ka_j\min(r_k,r_j)=a_ka_1r_1+a_ka_2r_2+\cdots+a_ka_kr_k+a_ka_{k+1}r_k+\cdots+a_ka_nar_k$ 就是表中第 $k$ 行各元素的和，$k=1,2,\cdots,n$．
因此 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_ia_j\min(r_i,r_j)$ 就是表 $A_1$ 中所有元素的和．
另外，此和也可以按以下方式求得：先取出表 $A_i$ 中第一行，第一行的各元素，并求其和；剩下的表记为 $A_2$（相当于删去 $A_1$ 中的第一行和第一列而得到 $A_2$），再取出表 $A_2$ 中第一行，第一列的各元素，并求其和；剩下的表记为 $A_3$（相当于删去 $A_2$ 中的第一行和第一列而得到 $A_3$），再取出表 $A_3$ 中第一行，第一列的各元素，并求其和 $\cdots\cdots$ 如此得
$\displaystyle \sum\limits_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_ia_j\min(r_i,r_j)$
$\displaystyle =\sum\limits_{k=1}^nr_k(a^2_k+2a_k(a_{k+1}+a_{k+2}+\cdots+a_n))$（这是 $A_k$ 中第一行第一列各元素的和）
$=\displaystyle \sum\limits
_{k=1}^nr_k\left(\left(a_k+\sum_{i=k+1}^na_i\right)^2-\left(\sum_{i=k+1}^na_i\right)^2\right)$
$=\displaystyle \sum\limits
_{k=1}^nr_k\left(\left(\sum_{i=k}^na_i\right)^2-\left(\sum_{i=k+1}^na_i\right)^2\right)$
$\displaystyle =r_1(\sum\limits_{i=1}^na_i)^2+r_2(\sum_{i=2}^na_i)^2+r_3(\sum_{i=3}^na_i)^2+\cdots+r_n(\sum_{i=n}^na_i)^2-r_1(\sum_{i=2}^na_i)^2-r_2(\sum_{i=3}^na_i)^2-\cdots-r_{n-1}(\sum_{i=n}^na_i)^2$
$\displaystyle =\sum\limits_{k=1}^n(r_k-r_{k-1})(\sum_{i=k}^na_i)^2\geqslant 0$（此处约定 $r_0=0$）
答案
解析
备注
