2011中国东南数学奥林匹克试题

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  二试代数部分

略

证法一
记 $f(x)=\dfrac{a x^{2}+b}{\sqrt{x^{2}+1}}$．由 $f(0)=b$，知 $b\geqslant 3$，且易知 $a>0$．
（i）当 $b-2 a \geqslant 0$ 时，$f(x)=\dfrac{a x^{2}+b}{\sqrt{x^{2}+1}}=a \sqrt{x^{2}+1}+\dfrac{b-a}{\sqrt{x^{2}+1}} \geqslant 2 \sqrt{a(b-a)}=3$，等号当 $a \sqrt{x^{2}+1}=\dfrac{b-a}{\sqrt{x^{2}+1}}$ 时，即 $x=\pm \sqrt{\dfrac{b-2 a}{a}}$ 时取到．
此时，$a=\dfrac{b-\sqrt{b^{2}-9}}{2}$，特别当 $b=3$ 时，$a=\dfrac{3}{2}$．
（ii）当 $b-2a<0$ 时，令 $\sqrt{x^{2}+1}=t(t \geqslant 1) . f(x)=g(t)=a t+\dfrac{b-a}{t}$，当 $t\geqslant 1$ 时单调增加，所以 $\min _{x \in \mathbf{R}} f(x)=g(1)=a+b-a=b=3$，此时 $a>\dfrac{3}{2}$．
综上所述：（1）$b$ 的取值范围是 $[3,+\infty)$．
（2）当 $b=3$ 时，$a \geqslant \dfrac{3}{2}$；当 $b>3$ 时，$a=\dfrac{b-\sqrt{b^{2}-9}}{2}$．
证法二
设 $f(x)=\dfrac{a x^{2}+b}{\sqrt{x^{2}+1}}$．因为 $\min _{x \in \mathbf{R}} \dfrac{a x^{2}+b}{\sqrt{x^{2}+1}}=3$，且 $f(0)=b$，所以 $b \geqslant 3$．易知 $a>0$，$f^{\prime}(x)=\dfrac{a x\left(x^{2}-\dfrac{b-2 a}{a}\right)}{\left(x^{2}+1\right)^{\frac{3}{2}}}$．
（i）当 $b-2 a \leqslant 0$ 时，令 $f^{\prime}(x)=0$ 得 $x_0=0$，且有 $x<0$ 时，$f^{\prime}(x)<0$；$x>0$ 时，$f^{\prime}(x)>0$．所以 $f(0)=b$ 为最小值，所以 $b=3$，即当 $b=3$ 时，$a\geqslant \dfrac{3}{2}$．
（ii）当 $b-2a>0$ 时，令 $f^{\prime}(x)=0$ 得 $x_{0}=0, x_{1,2}=\pm \sqrt{\dfrac{b-2 a}{a}}$．
此时易知 $f(0)=b$ 不是最小值，所以当 $b>3 $ 时，$f(x_{1, 2})$ 为最小值
$\begin{aligned} f\left(x_{1,2}\right) &=\frac{a \cdot \frac{b-2 a}{a}+b}{\sqrt{\frac{b-2 a}{a}+1}}=3 \\ & \Rightarrow 2 \sqrt{a(b-a)}=3 \\ & \Rightarrow a^{2}-a b+\frac{9}{4}=0 \\ & \Rightarrow a=\frac{b-\sqrt{b^{2}-9}}{2} \end{aligned}$
即当 $b>3$ 时，$a=\dfrac{b-\sqrt{b^{2}-9}}{2}$．
综上所述：（1）$b$ 的取值范围是 $[3,+\infty)$．
（2）当 $b=3$ 时，$a \geqslant \dfrac{3}{2}$；当 $b>3$ 时，$a=\dfrac{b-\sqrt{b^{2}-9}}{2}$．