求一个正整数组 $(l,m,n)(1<l<m<n)$，使得 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{l}k,\sum_{k=l+1}^{m}k,\sum_{k=m+1}^{n}k$ 依次成等比数列．
【难度】
【出处】
2012中国东南数学奥林匹克试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
对 $t\in\mathbb{N}^{*}$，记 $S_{t}=\sum_{k=1}^{t} k=\dfrac{t(t+1)}{2}$．设
$\displaystyle
\sum\limits_{k=1}^{l} k=S_{l}, \sum_{k=l+1}^{m} k=S_{m}-S_{i}, \sum_{k=m+1}^{n} k=S_{n}-S_{m}
$
依次成等比数列，则
$S_{l}\left(S_{n}-S_{m}\right)=\left(S_{m}-S_{l}\right)^{2}$ ①
即 $S_{l}\left(S_{n}+S_{m}-S_{l}\right)=S_{m}^{2}$，于是应有 $S_{l}|S_{m}^{2}$，即 $2 l(l+1) | m^{2}(m+1)^{2}$．
令 $m+1=l(l+1)$，并取 $l=3$，于是 $m=11$，则 $S_l =S_3 =6$，
$S_m = S_{11} =66$，代人 ① 得 $S_n = 666$，即 $\dfrac{n(n+1)}{2}=666$，此时 $n=36$ 满足．
因此 $(l,m,n)=(3,11,36)$ 是一组满足条件的解．
$\displaystyle
\sum\limits_{k=1}^{l} k=S_{l}, \sum_{k=l+1}^{m} k=S_{m}-S_{i}, \sum_{k=m+1}^{n} k=S_{n}-S_{m}
$
依次成等比数列，则
$S_{l}\left(S_{n}-S_{m}\right)=\left(S_{m}-S_{l}\right)^{2}$ ①
即 $S_{l}\left(S_{n}+S_{m}-S_{l}\right)=S_{m}^{2}$，于是应有 $S_{l}|S_{m}^{2}$，即 $2 l(l+1) | m^{2}(m+1)^{2}$．
令 $m+1=l(l+1)$，并取 $l=3$，于是 $m=11$，则 $S_l =S_3 =6$，
$S_m = S_{11} =66$，代人 ① 得 $S_n = 666$，即 $\dfrac{n(n+1)}{2}=666$，此时 $n=36$ 满足．
因此 $(l,m,n)=(3,11,36)$ 是一组满足条件的解．
答案
解析
备注
