设整数 $a,b,c$ 与实数 $r$ 满足：$ar^2 +br+c=0$，$ac\neq 0$．
证明：$\sqrt{r^2 + c^2}$ 是无理数．
证明：$\sqrt{r^2 + c^2}$ 是无理数．
【难度】
【出处】
2014中国东南数学奥林匹克试题(高一)
【标注】
【答案】
略
【解析】
由条件得 $b^2 -4ac\geqslant 0$．
设 $r=\dfrac{-b+m}{2a}$，其中 $m^2 = b^2 - 4ac$．由 $ac\neq 0$ 知，
$m \neq \pm b$ ①
用反证法，假设 $\sqrt{r^2 + c^2}$ 等于某个有理数 $q$，记 $s=2aq\in\mathbb{Q}$．则
$\begin{aligned} s^{2} &=4 a^{2} q^{2}=4 a^{2}\left(r^{2}+c^{2}\right) \\ &=(2 a r)^{2}+4 a^{2} c^{2} \\ &=(m-b)^{2}+4 a^{2} c^{2}>0
\end{aligned} $ ②
若 $m\in\mathbb{Z}$，则上式右边为整数，故 $s\in\mathbb{Z}$，而
$\begin{aligned} 4 s^{2} &=4(m-b)^{2}+(4 a c)^{2} \\ &=4(m-b)^{2}+\left(b^{2}-m^{2}\right)^{2} \\ &=(m-b)^{2}\left[4+(m+b)^{2}\right] \end{aligned}$
故 $4+(m+b)^2$ 为平方数，但这导致 $m+b=0$，与 ① 矛盾．
以上表明 $m\notin\mathbb{Z}$，注意到 $m^2 = b^2 -4ac\in\mathbb{Z}$，故 $m\notin Q$．又由 ② 知，
$2mb=m^2 +b^2 +4a^2 c^2 -s^2 \in\mathbb{Q}$
所以 $b=0$，从而
$
s^{2}+1=m^{2}+4 a^{2} c^{2}+1=-4 a c+4 a^{2} c^{2}+1=(2 a c-1)^{2}
$
即 $s^2 +1$ 必为正整数的平方，得 $s=0$，但由 ② 知 $s\neq 0$，矛盾．
综上可知假设不成立，因此 $\sqrt{r^2 + c^2}$ 必为无理数．
设 $r=\dfrac{-b+m}{2a}$，其中 $m^2 = b^2 - 4ac$．由 $ac\neq 0$ 知，
$m \neq \pm b$ ①
用反证法，假设 $\sqrt{r^2 + c^2}$ 等于某个有理数 $q$，记 $s=2aq\in\mathbb{Q}$．则
$\begin{aligned} s^{2} &=4 a^{2} q^{2}=4 a^{2}\left(r^{2}+c^{2}\right) \\ &=(2 a r)^{2}+4 a^{2} c^{2} \\ &=(m-b)^{2}+4 a^{2} c^{2}>0
\end{aligned} $ ②
若 $m\in\mathbb{Z}$，则上式右边为整数，故 $s\in\mathbb{Z}$，而
$\begin{aligned} 4 s^{2} &=4(m-b)^{2}+(4 a c)^{2} \\ &=4(m-b)^{2}+\left(b^{2}-m^{2}\right)^{2} \\ &=(m-b)^{2}\left[4+(m+b)^{2}\right] \end{aligned}$
故 $4+(m+b)^2$ 为平方数，但这导致 $m+b=0$，与 ① 矛盾．
以上表明 $m\notin\mathbb{Z}$，注意到 $m^2 = b^2 -4ac\in\mathbb{Z}$，故 $m\notin Q$．又由 ② 知，
$2mb=m^2 +b^2 +4a^2 c^2 -s^2 \in\mathbb{Q}$
所以 $b=0$，从而
$
s^{2}+1=m^{2}+4 a^{2} c^{2}+1=-4 a c+4 a^{2} c^{2}+1=(2 a c-1)^{2}
$
即 $s^2 +1$ 必为正整数的平方，得 $s=0$，但由 ② 知 $s\neq 0$，矛盾．
综上可知假设不成立，因此 $\sqrt{r^2 + c^2}$ 必为无理数．
答案
解析
备注
