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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
19375 5d3957f7210b28021fc78c85 高中 解答题 自招竞赛 设数列 $\{a_n\}$ 满足：$a_1 = a_2 = 1$，且 $a_{n+2}=\dfrac{1}{a_{n+1}}+a_{n}, n=1,2, \cdots$，求 $a_{2004} $． 2022-04-17 19:02:50
19372 5d3988c8210b280220ed69e7 高中 解答题 自招竞赛 求证：对任意正实数 $a、b、c$，都有 $1<\dfrac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}+\dfrac{b}{\sqrt{b^{2}+c^{2}}}+\dfrac{c}{\sqrt{c^{2}+a^{2}}} \leqslant \dfrac{3 \sqrt{2}}{2}$． 2022-04-17 19:00:50
19370 5d3a622f210b280220ed6a1d 高中 解答题 自招竞赛 设 $2n$ 个实数 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{2 n}$ 满足条件 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{2 n-1}\left(a_{i+1}-a_{i}\right)^{2}=1$．求 $\left(a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots+a_{2 n}\right)-\left(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}\right)$ 的最大值． 2022-04-17 19:59:49
19366 5d3aa055210b280220ed6a95 高中 解答题 自招竞赛 设非负实数 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{5}$ 满足 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{5} \dfrac{1}{1+x_{i}}=1$，求证：$\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{5} \dfrac{x_{i}}{4+x_{i}^{2}} \leqslant 1$． 2022-04-17 19:57:49
19303 5d3adca3210b28021fc78d83 高中 解答题 自招竞赛 设 $ n ( n\geqslant 2 )$ 是给定的正整 数，求所有整数组 $\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right)$ 满足条件：
（1）$a_{1}+a_{2}+\dots+a_{n} \geqslant n^{2}$；
（2）$a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots+a_{n}^{2} \leqslant n^{3}+1$．		 2022-04-17 19:25:49
19300 5d3fb104210b28021fc78f33 高中 解答题 自招竞赛 设数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 满足 $x_{1}=\dfrac{1}{2}, x_{n+1}=x_{n}+\dfrac{x_{n}^{2}}{n^{2}}$．证明：$x_{2001}<1001$． 2022-04-17 19:24:49
19298 5d3fb5a1210b28021fc78f4e 高中 解答题 自招竞赛 设 $x,y,z$ 为正实数，且 $x+y+z \geqslant x y \approx$．求 $\dfrac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{x y z}$ 的最小值． 2022-04-17 19:22:49
19279 5d4172d1210b28021fc790e1 高中 解答题 自招竞赛 实数 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{2017}$ 满足 $a_{1}=a_{2017}$，且 $\left|a_{i}+a_{i+2}-2 a_{i+1}\right| \leqslant 1, i=1,2, \cdots, 2015$．记 $M=\max\limits _{1 \leqslant i<j \leqslant 2017}\left|a_{i}-a_{j}\right|$．求 $M$ 的最大值． 2022-04-17 19:12:49
19277 5d424db8210b280220ed6eed 高中 解答题 自招竞赛 已知实数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=\dfrac{1}{2}, a_{2}=\dfrac{3}{8}$，且 $a_{n+1}^{2}+3 a_{n} a_{n+2}=2 a_{n+1}\left(a_{n}+a_{n+2}\right)(n=1,2, \cdots)$．
（1）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）证明：$0<a_{n}<\dfrac{1}{\sqrt{2 n+1}}$．		 2022-04-17 19:11:49
19261 5d429cfe210b280220ed6fc9 高中 解答题 自招竞赛 设 $a_{1} , a_{2}, \cdots, a_{n+1}$ 为正实数．证明：$\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{n} a_{i} \cdot \sum_{i=1}^{n} a_{i+1} \geqslant \sum_{i=1}^{n} \frac{a_{i} a_{i+1}}{a_{i}+a_{i+1}} \cdot \sum_{i=1}^{n}\left(a_{i}+a_{i+1}\right)$． 2022-04-17 19:03:49
19259 5d43b426210b280220ed701a 高中 解答题 自招竞赛 设 $a、b、c$ 为实数，$a\ne 0$．若一元二次方程 $2ax^2 +bx +c= 0$ 在 $［-1,1]$ 上有实数根，证明：$\min \{c, a+c+1\} \leqslant \max \{|b-a+1|,|b+a-1|\}$，并确定上述不等式等号成立时，$a、b、c$ 所满足的充要条件． 2022-04-17 19:02:49
19233 5d43fc89210b28021fc791f0 高中 解答题 自招竞赛 已知数列 $\{a_n \}$ 满足 $a_1 =1,a_2 =\dfrac{1}{2}$，且对任意整数 $n\geqslant 2$，均有
$n(n+1)a_{n+1} a_n +n a_n a_{n-1} = (n+1)^2 a_{n+1} a_{n-1}$
（1）求数列 $\{a_n \}$ 的通项；
（2）对任意整数 $n>2$，证明：$\dfrac{2}{n+1}<\sqrt[n]{a_{n}}<\dfrac{1}{\sqrt{n}}$		 2022-04-17 19:48:48
19228 5d4795f9210b28021fc792af 高中 解答题 自招竞赛 设正整数数列 $\{a_n \}$ 满足：对任意整数 $n\geqslant 2016$，均有 $n^2 ~|~ (a_1 + a_2 + \ldots + a_n )$ 及 $a_n \leqslant (n+2016)^2$ 成立．令 $b_n = a_{n+1} - a_{n}$．证明：数列 $\{b_n \}$ 从某项起恒为常数． 2022-04-17 19:46:48
19223 5d479d2c210b280220ed7196 高中 解答题 自招竞赛 设常数 $\alpha$ 满足 $0<\alpha\leqslant 1$．证明：
（1）存在仅依赖于 $\alpha$ 的常数 $C(\alpha)>0$，使得对所有 $x\geqslant 0$，$\ln (1+x)\leqslant C(\alpha )x^{\alpha}$；
（2）对任意两个非零复数之和 $z_1 , z_2$，有 $
\left|\ln \left| \dfrac{z_{1}}{z_{2}}\right|~\right| \leqslant C(\alpha)\left(\left|\dfrac{z_{1}-z_{2}}{z_{2}}\right|^{\alpha}+\left|\dfrac{z_{2}-z_{1}}{z_{1}}\right|^{\alpha}\right)
$，其中 $C(\alpha)$ 是第（1）题中所给出的常数．		 2022-04-17 19:42:48
19220 5d47a01e210b280220ed71bb 高中 解答题 自招竞赛 设正整数数列 $\{a_n \}$ 满足：对任意整数 $n\geqslant 2016$，均有 $n^2 ~|~ (a_1 + a_2 + \ldots + a_n )$ 及 $a_n \leqslant (n+2016)^2$ 成立．令 $b_n = a_{n+1} - a_{n}$．证明：数列 $\{b_n \}$ 从某项起恒为常数． 2022-04-17 19:41:48
19219 5d47a59e210b28021fc792f6 高中 解答题 自招竞赛 数列 $\{a_n \}$ 满足 $a_1 =1$，且 $a_{2k}=a_{2k-1} + a_k$，$a_{2k+1}=a_{2k}$，（$k=1,2,\ldots $）．
证明：对任意整数 $n\geqslant 3$，有 $a_{2^n}<2^{\frac{n^2}{2}}$．		 2022-04-17 19:40:48
19215 5d47c32c210b28021fc7931f 高中 解答题 自招竞赛 设 $a,b$ 为实数，函数 $f(x)=ax+b$ 满足：对任意 $x\in [0,1]$，有 $|f(x)|\leqslant 1$．求 $S=(a+1)(b+1)$ 的取值范围． 2022-04-17 19:38:48
19212 5d47c974210b28021fc7933e 高中 解答题 自招竞赛 对任意给定的整数 $m,n$，记 $A(m,n)=\{x^2 +mx+n~|~x\in\mathbb{Z}\}$，其中 $\mathbb{Z}$ 表示整数集合．是否一定存在互不相同的三个整数 $a,b,c\in A(m,n)$，使得 $a=bc$？证明你的结论． 2022-04-17 19:37:48
19210 5d47cb6c210b28021fc7935c 高中 解答题 自招竞赛 数列 $\{a_n \}$ 满足 $a_1 =1$，且 $a_{2k}=a_{2k-1} + a_k$，$a_{2k+1}=a_{2k}$，（$k=1,2,\ldots $）．
证明：对任意整数 $n$，有 $a_{2^n}<2^{\frac{n^2}{2}}$．		 2022-04-17 19:35:48
19182 5d47e8ee210b280220ed72d0 高中 解答题 自招竞赛 设 $n$ 为正整数，非负实数 $x_1 , x_2 , \ldots , x_n$ 满足：$x_i x_j \leqslant 4^{-|i-j|}$（$1\leqslant i,j\leqslant n$）．
证明：$x_1 + x_2 +\ldots + x_n <\dfrac{5}{3}$．		 2022-04-17 19:19:48
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