设 $a、b、c$ 为实数，$a\ne 0$．若一元二次方程 $2ax^2 +bx +c= 0$ 在 $［-1,1]$ 上有实数根，证明：$\min \{c, a+c+1\} \leqslant \max \{|b-a+1|,|b+a-1|\}$，并确定上述不等式等号成立时，$a、b、c$ 所满足的充要条件．
【难度】
【出处】
2017中国东南数学奥林匹克试题(高二)
【标注】
【答案】
略
【解析】
注意到 $\max \{|b-a+1|,|b+a-1|\}=|b|+|a-1|$，需证的不等式等价于 $\min \{c, a+c+1\} \leqslant|b|+|a-1|$ ①
根据条件，存在 $x_{0} \in[-1,1]$，满足 $2 a x_{0}^{2}+b x_{0}+c=0$．
以下分 $a>0$ 与 $a<0$ 两种情况讨论．
（1）当 $a>0$ 时，由于 $\begin{aligned} \min \{c, a+c+1\} &=c=-2 a x_{0}^{2}-b x_{0} \leqslant-b x_{0} \leqslant|b| \leqslant|b|+|a-1| \end{aligned}$，故 ① 成立，且 ① 取到等号当且仅当 $|a-1|=0,-2 a x_{0}^{2}=0, c=-b x_{0}=|b|$，从中依次推得 $a=1, x_{0}=0, c=b=0$．
（2）当 $a<0$ 时，由于
$\begin{aligned} \min \{c, a+c+1\} & \leqslant a+c+1=a-2 a x_{0}^{2}-b x_{0}+1 \\ & \leqslant a+(-2 a)+|b|+1 \\ &=|b|+1-a \\ &=|b|+|a-1| \end{aligned}$
故 ① 仍成立，且 ① 取到等号当且仅当 $a+c+1\leqslant c,-2ax_0^2=-2a,-bx_0=|b|$，从中推得 $a\leqslant -1$，进而 $x_0^2=1$（且 $x_0$ 与 $b$ 异号），于是有 $2 a-|b|+c=2 a x_{0}^{2}+b x_{0}+c=0$．
由（1）（2）可知 ① 成立（即原不等式成立），且等号成立时 $a,b,c$ 满足的充要条件是 $(a, b, c)=(1,0,0)$，或 $a \leqslant-1,2 a-|b|+c=0$．
根据条件，存在 $x_{0} \in[-1,1]$，满足 $2 a x_{0}^{2}+b x_{0}+c=0$．
以下分 $a>0$ 与 $a<0$ 两种情况讨论．
（1）当 $a>0$ 时，由于 $\begin{aligned} \min \{c, a+c+1\} &=c=-2 a x_{0}^{2}-b x_{0} \leqslant-b x_{0} \leqslant|b| \leqslant|b|+|a-1| \end{aligned}$，故 ① 成立，且 ① 取到等号当且仅当 $|a-1|=0,-2 a x_{0}^{2}=0, c=-b x_{0}=|b|$，从中依次推得 $a=1, x_{0}=0, c=b=0$．
（2）当 $a<0$ 时，由于
$\begin{aligned} \min \{c, a+c+1\} & \leqslant a+c+1=a-2 a x_{0}^{2}-b x_{0}+1 \\ & \leqslant a+(-2 a)+|b|+1 \\ &=|b|+1-a \\ &=|b|+|a-1| \end{aligned}$
故 ① 仍成立，且 ① 取到等号当且仅当 $a+c+1\leqslant c,-2ax_0^2=-2a,-bx_0=|b|$，从中推得 $a\leqslant -1$，进而 $x_0^2=1$（且 $x_0$ 与 $b$ 异号），于是有 $2 a-|b|+c=2 a x_{0}^{2}+b x_{0}+c=0$．
由（1）（2）可知 ① 成立（即原不等式成立），且等号成立时 $a,b,c$ 满足的充要条件是 $(a, b, c)=(1,0,0)$，或 $a \leqslant-1,2 a-|b|+c=0$．
答案
解析
备注
