数列 $\{a_n \}$ 满足 $a_1 =1$，且 $a_{2k}=a_{2k-1} + a_k$，$a_{2k+1}=a_{2k}$，（$k=1,2,\ldots $）．
证明：对任意整数 $n\geqslant 3$，有 $a_{2^n}<2^{\frac{n^2}{2}}$．
证明：对任意整数 $n\geqslant 3$，有 $a_{2^n}<2^{\frac{n^2}{2}}$．
【难度】
【出处】
2015中国东南数学奥林匹克试题(高一)
【标注】
【答案】
略
【解析】
经计算得，$a_4 = a_3 + a_2 = 2a_2 = 4a_1 = 4$．
对任意整数 $i\geqslant 2$，有 $
a_{2 i}-a_{2 i-2}=\left(a_{2 i-1}+a_{i}\right)-a_{2 i-1}=a_{i}
$，而 $\{a_n \}$ 单调不减，所以对一切正整数 $m$，有
$\displaystyle a_{2^{m+1}}-a_{2^m}=\sum\limits_{i=2^{m-1}+1}^{2^m}(a_{2i}-a_{2i-2})=\sum_{i=2^{m-1}+1}^{2^m}a_i \leqslant 2^{m-1}a_{2^m}$
从而 $\dfrac{a_{2^{m+1}}}{a_{2^m}}\leqslant 1+2^{m-1}\leqslant 2^m$．于是，对任意整数 $n\geqslant 3$，有
$\begin{aligned}
a_{2^n}&=\left(\prod_{m=2}^{n-1}\frac{a_{2^{m+1}}}{a_{2^m}}\right)\times a_4 \leqslant \left(\prod_{m=2}^{n-1}2^{m}\right)\times 4 \\ &=2^{(n-1)+(n-2)+\ldots+2+2}\\ &=2^{\frac{n^2 -n+2}{2}}<2^{\frac{n^2}{2}}
\end{aligned}$
对任意整数 $i\geqslant 2$，有 $
a_{2 i}-a_{2 i-2}=\left(a_{2 i-1}+a_{i}\right)-a_{2 i-1}=a_{i}
$，而 $\{a_n \}$ 单调不减，所以对一切正整数 $m$，有
$\displaystyle a_{2^{m+1}}-a_{2^m}=\sum\limits_{i=2^{m-1}+1}^{2^m}(a_{2i}-a_{2i-2})=\sum_{i=2^{m-1}+1}^{2^m}a_i \leqslant 2^{m-1}a_{2^m}$
从而 $\dfrac{a_{2^{m+1}}}{a_{2^m}}\leqslant 1+2^{m-1}\leqslant 2^m$．于是，对任意整数 $n\geqslant 3$，有
$\begin{aligned}
a_{2^n}&=\left(\prod_{m=2}^{n-1}\frac{a_{2^{m+1}}}{a_{2^m}}\right)\times a_4 \leqslant \left(\prod_{m=2}^{n-1}2^{m}\right)\times 4 \\ &=2^{(n-1)+(n-2)+\ldots+2+2}\\ &=2^{\frac{n^2 -n+2}{2}}<2^{\frac{n^2}{2}}
\end{aligned}$
答案
解析
备注
