设 $x,y,z$ 为正实数，且 $x+y+z \geqslant x y \approx$．求 $\dfrac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{x y z}$ 的最小值．
【难度】
【出处】
2001年中国西部数学奥林匹克试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
注意到，当 $x=y=z=\sqrt{3}$ 时，$x+y+z \geqslant x y z$，而 $\dfrac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{x y z}=\sqrt{3}$．
下面证明 $\dfrac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{x y z}$ 的最小值为 $\sqrt{3}$．事实上，有
$x^{2}+y^{2}+z^{2} \geqslant \dfrac{1}{3}(x+y+z)^{2} \geqslant\begin{cases}\dfrac{1}{3}(x y z)^{2} \geqslant \sqrt{3} x y z &如果x y z \geqslant 3 \sqrt{3}\\ \dfrac{1}{3} \sqrt[3]{(x y z)^{2}} \geqslant \sqrt{3} x y z &如果x y z < 3 \sqrt{3}\end{cases}$
所以，$\dfrac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{x y z}$ 的最小值为 $\sqrt{3}$．
下面证明 $\dfrac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{x y z}$ 的最小值为 $\sqrt{3}$．事实上，有
$x^{2}+y^{2}+z^{2} \geqslant \dfrac{1}{3}(x+y+z)^{2} \geqslant\begin{cases}\dfrac{1}{3}(x y z)^{2} \geqslant \sqrt{3} x y z &如果x y z \geqslant 3 \sqrt{3}\\ \dfrac{1}{3} \sqrt[3]{(x y z)^{2}} \geqslant \sqrt{3} x y z &如果x y z < 3 \sqrt{3}\end{cases}$
所以，$\dfrac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{x y z}$ 的最小值为 $\sqrt{3}$．
答案
解析
备注
