设数列 $\{a_n\}$ 满足：$a_1 = a_2 = 1$，且 $a_{n+2}=\dfrac{1}{a_{n+1}}+a_{n}, n=1,2, \cdots$，求 $a_{2004} $．
【难度】
【出处】
2004年中国西部数学奥林匹克试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
由题设得 $a_{n+2} a_{n+1}-a_{n+1} a_{n}=1$，所以，$\left\{a_{n+1} a_{n}\right\}$ 是一个首项为 $1$，公差为 $1$ 的等差数列，从而 $a_{n+1} a_{n}=n, n=1,2, \cdots,$ 于是 $a_{n+2}=\dfrac{n+1}{a_{n+1}}=\dfrac{n+1}{\tfrac{n}{a_{n}}}=\dfrac{n+1}{n} a_{n}, n=1,2, \cdots,$
所以
$a_{2004}=\dfrac{2003}{2002} a_{2002}=\dfrac{2003}{2002} \centerdot \dfrac{2001}{2000} a_{2000}$
$=\cdots=\dfrac{2003}{2002} \centerdot\dfrac{2001}{2000} \centerdot \cdots \centerdot \dfrac{3}{2} a_{2}$
$=\dfrac{3 \centerdot 5 \centerdot \cdots \centerdot 2003}{2 \centerdot 4 \centerdot \cdots \centerdot 2002}\left(=\dfrac{2003 ! !}{2002 ! !}\right)$．
所以
$a_{2004}=\dfrac{2003}{2002} a_{2002}=\dfrac{2003}{2002} \centerdot \dfrac{2001}{2000} a_{2000}$
$=\cdots=\dfrac{2003}{2002} \centerdot\dfrac{2001}{2000} \centerdot \cdots \centerdot \dfrac{3}{2} a_{2}$
$=\dfrac{3 \centerdot 5 \centerdot \cdots \centerdot 2003}{2 \centerdot 4 \centerdot \cdots \centerdot 2002}\left(=\dfrac{2003 ! !}{2002 ! !}\right)$．
答案
解析
备注
