设 $2n$ 个实数 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{2 n}$ 满足条件 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{2 n-1}\left(a_{i+1}-a_{i}\right)^{2}=1$．求 $\left(a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots+a_{2 n}\right)-\left(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}\right)$ 的最大值．
【难度】
【出处】
2003年中国西部数学奥林匹克试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
首先，当 $n=1$ 时，$\left(a_{2}-a_{1}\right)^{2}=1$，故 $a_{2}-a_{1}=\pm 1$，易知此时欲求的最大值为 $1$．
当 $n\geqslant 2$ 时，设 $x_{1}=a_{1}, x_{i+1}=a_{i+1}-a_{i}, i=1,2, \cdots,2n-1$，则 $\displaystyle \sum\limits_{i=2}^{2 n} x_{i}^{2}=1$，且 $a_{k}=x_{1}+\cdots+x_{k}, k=1,2, \cdots, 2 n$．
所以，由柯西不等式得：
$\left(a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots+a_{2 n}\right)-\left(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}\right)$
$=n\left(x_{1}+\cdots+x_{n}\right)+n x_{n+1}+(n-1) x_{n+2}+\cdots+x_{2 n}-\left[n x_{1}+(n-1) x_{2}+\cdots+x_{n}\right]$
$=x_{2}+2 x_{3}+\cdots+(n-1) x_{n}+n x_{n+1}+(n-1) x_{n+2}+x_{2n}$
$\leqslant\left[1^{2}+2^{2}+\cdots+(n-1)^{2}+n^{2}+(n-1)^{2}+\cdots+1^{2}\right]^\tfrac{1}{2}\left(x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+\dots+x_{2 n}^{2}\right)^{\frac{1}{2}}$
$=\left[n^{2}+2 \times \dfrac{1}{6}(n-1) n(2(n-1)+1)\right]^{\frac{1}{2}}=\sqrt{\dfrac{n\left(2 n^{2}+1\right)}{3}}$
当
$\begin{aligned}&a_{k}=\frac{\sqrt{3} k(k-1)}{2 \sqrt{n\left(2 n^{2}+1\right)}}, &&k=1, \cdots, n\\&a_{n+k}=\frac{\sqrt{3}\left[2 n^{2}-(n-k)(n-k+1)\right]}{2 \sqrt{n\left(2 n^{2}+1\right)}}, &&k=1, \cdots, n\end{aligned}$
时，上述不等式等号成立．
所以，$\left(a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots+a_{2 n}\right)-\left(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}\right)$ 的最大值为 $\sqrt{\dfrac{n\left(2 {n^{2}+1}\right)}{3}}$．
当 $n\geqslant 2$ 时，设 $x_{1}=a_{1}, x_{i+1}=a_{i+1}-a_{i}, i=1,2, \cdots,2n-1$，则 $\displaystyle \sum\limits_{i=2}^{2 n} x_{i}^{2}=1$，且 $a_{k}=x_{1}+\cdots+x_{k}, k=1,2, \cdots, 2 n$．
所以，由柯西不等式得：
$\left(a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots+a_{2 n}\right)-\left(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}\right)$
$=n\left(x_{1}+\cdots+x_{n}\right)+n x_{n+1}+(n-1) x_{n+2}+\cdots+x_{2 n}-\left[n x_{1}+(n-1) x_{2}+\cdots+x_{n}\right]$
$=x_{2}+2 x_{3}+\cdots+(n-1) x_{n}+n x_{n+1}+(n-1) x_{n+2}+x_{2n}$
$\leqslant\left[1^{2}+2^{2}+\cdots+(n-1)^{2}+n^{2}+(n-1)^{2}+\cdots+1^{2}\right]^\tfrac{1}{2}\left(x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+\dots+x_{2 n}^{2}\right)^{\frac{1}{2}}$
$=\left[n^{2}+2 \times \dfrac{1}{6}(n-1) n(2(n-1)+1)\right]^{\frac{1}{2}}=\sqrt{\dfrac{n\left(2 n^{2}+1\right)}{3}}$
当
$\begin{aligned}&a_{k}=\frac{\sqrt{3} k(k-1)}{2 \sqrt{n\left(2 n^{2}+1\right)}}, &&k=1, \cdots, n\\&a_{n+k}=\frac{\sqrt{3}\left[2 n^{2}-(n-k)(n-k+1)\right]}{2 \sqrt{n\left(2 n^{2}+1\right)}}, &&k=1, \cdots, n\end{aligned}$
时，上述不等式等号成立．
所以，$\left(a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots+a_{2 n}\right)-\left(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}\right)$ 的最大值为 $\sqrt{\dfrac{n\left(2 {n^{2}+1}\right)}{3}}$．
答案
解析
备注
