对任意给定的整数 $m,n$，记 $A(m,n)=\{x^2 +mx+n~|~x\in\mathbb{Z}\}$，其中 $\mathbb{Z}$ 表示整数集合．是否一定存在互不相同的三个整数 $a,b,c\in A(m,n)$，使得 $a=bc$？证明你的结论．
【难度】
【出处】
2015中国东南数学奥林匹克试题(高一)
【标注】
【答案】
略
【解析】
首先证明，对任意整数 $n$，集合 $A(0,n),A(1,n)$ 具有题目所述性质．
事实上，取充分大的整数 $r$，使 $0<r<r+1<n+r(r+1)$ 成立，并令
$\begin{aligned}a&=(n+r(r+1))^{2}+n \\ b&=r^{2}+n \\ c&=(r+1)^{2}+n\end{aligned}$
则 $a,b,c\in A(0,n)$，$b<c<a$，且
$\begin{aligned} a &=n^{2}+(2 r(r+1)+1) n+r^{2}(r+1)^{2} \\ &=\left(n+r^{2}\right)\left(n+(r+1)^{2}\right) \\ &=b c \end{aligned}$
因此 $A(0,n)$ 具有题目所述性质．
类似地，取充分大的整数 $r$，使 $0<r-1<r<n+r^2 -1$ 成立，并令
$\begin{aligned} a &=\left(n+r^{2}-1\right)\left(n+r^{2}\right)+n \\ b &=(r-1) r+n \\ c &=r(r+1)+n \end{aligned}$
则 $a,b,c\in A(1,n)$，$b<c<a$，且
$\begin{aligned} a &=n^{2}+2 r^{2} n+\left(r^{2}-1\right) r^{2} \\ &=(n+r(r-1))(n+r(r+1)) \\ &=b c \end{aligned}$
故 $A(1,n)$ 也具有题目所述性质．
下面证明，对任意整数 $k,n$，集合 $A(2k,n),A(2k+1,n)$ 具有题目所述性质．事实上，由于 $x$ 取遍一切整数当且仅当 $x_1 = x + k$ 取遍一切整数，
而
$\begin{aligned} x^{2}+2 k x+n &=(x+k)^{2}-k^{2}+n \\ &=x_{1}^{2}+\left(n-k^{2}\right) \\ x^{2}+(2 k+1) x+n &=(x+k)(x+k+1)-k(k+1)+n \\ &=x_{1}^{2}+x_{1}+\left(n-k^{2}-k\right) \end{aligned}$
故
$\begin{aligned} A(2 k, n) &=A\left(0, n-k^{2}\right) \\ A(2 k+1, n) &=A\left(1, n-k^{2}-k\right) \end{aligned}$
即 $A(2k,n),A(2k+1,n)$ 均有题目所述性质．
因此，对任意整数 $m,n$，一定存在互不相同的三个整数 $a,b,c\in A(m,n)$，
使得 $a=bc$．
事实上，取充分大的整数 $r$，使 $0<r<r+1<n+r(r+1)$ 成立，并令
$\begin{aligned}a&=(n+r(r+1))^{2}+n \\ b&=r^{2}+n \\ c&=(r+1)^{2}+n\end{aligned}$
则 $a,b,c\in A(0,n)$，$b<c<a$，且
$\begin{aligned} a &=n^{2}+(2 r(r+1)+1) n+r^{2}(r+1)^{2} \\ &=\left(n+r^{2}\right)\left(n+(r+1)^{2}\right) \\ &=b c \end{aligned}$
因此 $A(0,n)$ 具有题目所述性质．
类似地，取充分大的整数 $r$，使 $0<r-1<r<n+r^2 -1$ 成立，并令
$\begin{aligned} a &=\left(n+r^{2}-1\right)\left(n+r^{2}\right)+n \\ b &=(r-1) r+n \\ c &=r(r+1)+n \end{aligned}$
则 $a,b,c\in A(1,n)$，$b<c<a$，且
$\begin{aligned} a &=n^{2}+2 r^{2} n+\left(r^{2}-1\right) r^{2} \\ &=(n+r(r-1))(n+r(r+1)) \\ &=b c \end{aligned}$
故 $A(1,n)$ 也具有题目所述性质．
下面证明，对任意整数 $k,n$，集合 $A(2k,n),A(2k+1,n)$ 具有题目所述性质．事实上，由于 $x$ 取遍一切整数当且仅当 $x_1 = x + k$ 取遍一切整数，
而
$\begin{aligned} x^{2}+2 k x+n &=(x+k)^{2}-k^{2}+n \\ &=x_{1}^{2}+\left(n-k^{2}\right) \\ x^{2}+(2 k+1) x+n &=(x+k)(x+k+1)-k(k+1)+n \\ &=x_{1}^{2}+x_{1}+\left(n-k^{2}-k\right) \end{aligned}$
故
$\begin{aligned} A(2 k, n) &=A\left(0, n-k^{2}\right) \\ A(2 k+1, n) &=A\left(1, n-k^{2}-k\right) \end{aligned}$
即 $A(2k,n),A(2k+1,n)$ 均有题目所述性质．
因此，对任意整数 $m,n$，一定存在互不相同的三个整数 $a,b,c\in A(m,n)$，
使得 $a=bc$．
答案
解析
备注
