已知数列 $\{a_n \}$ 满足 $a_1 =1,a_2 =\dfrac{1}{2}$，且对任意整数 $n\geqslant 2$，均有
$n(n+1)a_{n+1} a_n +n a_n a_{n-1} = (n+1)^2 a_{n+1} a_{n-1}$
（1）求数列 $\{a_n \}$ 的通项；
（2）对任意整数 $n>2$，证明：$\dfrac{2}{n+1}<\sqrt[n]{a_{n}}<\dfrac{1}{\sqrt{n}}$
$n(n+1)a_{n+1} a_n +n a_n a_{n-1} = (n+1)^2 a_{n+1} a_{n-1}$
（1）求数列 $\{a_n \}$ 的通项；
（2）对任意整数 $n>2$，证明：$\dfrac{2}{n+1}<\sqrt[n]{a_{n}}<\dfrac{1}{\sqrt{n}}$
【难度】
【出处】
2016中国东南数学奥林匹克试题(高一)
【标注】
【答案】
略
【解析】
（1）由 $n(n+1)a_{n+1}a_n + na_n a_{n-i} = (n+1)^2 a_{n+1}a_{n-1}$ 得 $
n a_{n} a_{n-1}=(n+1) a_{n+1} \cdot\left[(n+1) a_{n-1}-n a_{n}\right]
$
这等价于 $\dfrac{1}{(n+1) a_{n+1}}-\dfrac{1}{a_{n}}=\dfrac{1}{n a_{n}}-\dfrac{1}{a_{n-1}}$ ①
根据 ①，并注意到 $a_1 = 1, a_2 =\dfrac{1}{2}$，有 $
\dfrac{1}{n a_{n}}-\dfrac{1}{a_{n-1}}=\dfrac{1}{(n-1) a_{n-1}}-\dfrac{1}{a_{n-2}}=\ldots=\dfrac{1}{2 a_{2}}-\dfrac{1}{a_{1}}=0
$
这表明 $a_n = \dfrac{1}{n}a_{n-1} =\dfrac{1}{n}\cdot\dfrac{1}{n-1}a_{n-2}=\ldots=\dfrac{1}{n!}$．
（2）要证明 $\dfrac{2}{n+1}<\sqrt[n]{a_{n}}<\dfrac{1}{\sqrt{n}}$，
即证明 $\sqrt{n}<\sqrt[n]{n !}<\dfrac{n+1}{2}$ ②
一方面，由均值不等式得 $
\sqrt[n]{n !}=\sqrt[n]{1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot n}<\dfrac{1+2+\ldots+n}{n}=\dfrac{n+1}{2}$
另一方面，由于对任意整数 $k$（$1<k<n$），有 $
k(n-k+1)-n=(k-1)(n-k)>0$
即 $k(n-k+1)>n$，所以 $
(n !)^{2}=(1 \cdot n) \cdot(2 \cdot(n-1)) \ldots(k \cdot(n-k+1)) \cdots(n \cdot 1)>n^{n}
$
可得 $\sqrt{n}<\sqrt[n]{n!}$．因此 ② 得证．
n a_{n} a_{n-1}=(n+1) a_{n+1} \cdot\left[(n+1) a_{n-1}-n a_{n}\right]
$
这等价于 $\dfrac{1}{(n+1) a_{n+1}}-\dfrac{1}{a_{n}}=\dfrac{1}{n a_{n}}-\dfrac{1}{a_{n-1}}$ ①
根据 ①，并注意到 $a_1 = 1, a_2 =\dfrac{1}{2}$，有 $
\dfrac{1}{n a_{n}}-\dfrac{1}{a_{n-1}}=\dfrac{1}{(n-1) a_{n-1}}-\dfrac{1}{a_{n-2}}=\ldots=\dfrac{1}{2 a_{2}}-\dfrac{1}{a_{1}}=0
$
这表明 $a_n = \dfrac{1}{n}a_{n-1} =\dfrac{1}{n}\cdot\dfrac{1}{n-1}a_{n-2}=\ldots=\dfrac{1}{n!}$．
（2）要证明 $\dfrac{2}{n+1}<\sqrt[n]{a_{n}}<\dfrac{1}{\sqrt{n}}$，
即证明 $\sqrt{n}<\sqrt[n]{n !}<\dfrac{n+1}{2}$ ②
一方面，由均值不等式得 $
\sqrt[n]{n !}=\sqrt[n]{1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot n}<\dfrac{1+2+\ldots+n}{n}=\dfrac{n+1}{2}$
另一方面，由于对任意整数 $k$（$1<k<n$），有 $
k(n-k+1)-n=(k-1)(n-k)>0$
即 $k(n-k+1)>n$，所以 $
(n !)^{2}=(1 \cdot n) \cdot(2 \cdot(n-1)) \ldots(k \cdot(n-k+1)) \cdots(n \cdot 1)>n^{n}
$
可得 $\sqrt{n}<\sqrt[n]{n!}$．因此 ② 得证．
答案
解析
备注
