实数 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{2017}$ 满足 $a_{1}=a_{2017}$，且 $\left|a_{i}+a_{i+2}-2 a_{i+1}\right| \leqslant 1, i=1,2, \cdots, 2015$．记 $M=\max\limits _{1 \leqslant i<j \leqslant 2017}\left|a_{i}-a_{j}\right|$．求 $M$ 的最大值．
【难度】
【出处】
2017中国东南数学奥林匹克试题(高一)
【标注】
【答案】
略
【解析】
我们证明 $M$ 的最大值为 $\dfrac{1008^2}{2}$．
设 $\left|a_{i_{0}}-a_{j_{0}}\right|=\max _{| \leqslant i<j \leqslant 2017}\left|a_{i}-a_{j}\right|=M, 1<i_{0}<2017$，则 $\left(a_{i_{0}}-a_{i_{0}-1}\right)\left(a_{i_{0}}-a_{i_{0}+1}\right) \geqslant 0$．
由条件得 $\left|a_{i_{0}}-a_{i_{0}-1}\right| \leqslant 1,\left|a_{i_0}-a_{i+1}\right| \leqslant 1$，且 $\min \left\{\left|a_{i_{0}}-a_{i_{0}-1}\right|,\left|a_{i_{0}}-a_{i_{0}+1}\right|\right\} \leqslant \dfrac{1}{2}$．
（1）若 $j_{0}=1$ 或 $2017$，
① 当 $i_0=1009$ 时，若 $\left|a_{i_{0}}-a_{i_{0}-1}\right| \leqslant \dfrac{1}{2}$，则 $\left|a_{i}-a_{1}\right| \leqslant \dfrac{1}{2}+\left(\dfrac{1}{2}+1\right)+\cdots+\left(\dfrac{1}{2}+1007\right)=\dfrac{1008^{2}}{2}$；
若 $\left|a_{i_0}-a_{i_0+1}\right| \leqslant \dfrac{1}{2}$，则 $\left|a_{i_0}-a_{2017}\right| \leqslant \dfrac{1008^{2}}{2}$．
② 当 $i_{0}<1009$ 时，若 $\left|a_{i_{0}}-a_{i_{0}-1}\right| \leqslant 1$，则 $\left|a_{i_0}-a_{1}\right| \leqslant 1+2+\cdots+1007 \leqslant \dfrac{1008^{2}}{2}$．
③ 当 $i_{0} \geqslant 1010$ 时，$\left|a_{2017}-a_{i_{0}}\right| \leqslant 1+2+\cdots+1007 \leqslant \dfrac{1008^{2}}{2}$．
（2）若 $ 1<j_0 < 2017$．设 $1 < i_0 <j_0 < 2017$．
① 若 $j_{0}-i_{0}=1008$ 时，若 $\left|a_{j_{0}}-a_{j_{0}-1}\right| \leqslant \dfrac{1}{2}$ 或 $\left|a_{i_{0}}-a_{i_{0}+1}\right| \leqslant \dfrac{1}{2}$，则 $\left|a_{j_{0}}-a_{i_{0}}\right| \leqslant \dfrac{1008^{2}}{2}$；
若 $\left|a_{i_{0}}-a_{i_{0}-1}\right| \leqslant \dfrac{1}{2}$，则 $\begin{aligned}\left|a_{j_{0}}-a_{i_{0}}\right| =\left|a_{i_{0}}-a_{1}\right|+\left|a_{2017}-a_{j_{0}}\right| \leqslant \frac{\left(i_{0}-1\right)^{2}}{2}+\frac{\left(2017-j_{0}\right)\left(2018-j_{0}\right)}{2} \leqslant \frac{1008^{2}}{2} \end{aligned}$；
若 $\left|a_{j_{0}}-a_{j_{0}+1}\right| \leqslant \dfrac{1}{2}$，则 $\begin{aligned}\left|a_{j_{0}}-a_{i_{0}}\right| &=\left|a_{i_{0}}-a_{1}\right|+\left|a_{2017}-a_{j_{0}}\right| \leqslant \frac{\left(i_{0}-1\right) i_{0}}{2}+\frac{\left(2017-j_{0}\right)^{2}}{2} \leqslant \frac{1008^{2}}{2} \end{aligned}$．
② 若 $\left|j_{0}-i_{0}\right|<1008$，则 $\left|a_{j_{0}}-a_{i_{0}}\right| \leqslant \dfrac{1007 \times 1008}{2} \leqslant \dfrac{1008^{2}}{2}$．
③ 若 $\left|j_{0}-i_{0}\right|>1008$ 时，则 $\begin{aligned}\left|a_{j_{0}}-a_{i_{0}}\right| &=\left|a_{i_{0}}-a_{1}\right|+\left|a_{2017}-a_{j_{0}}\right| \leqslant \frac{\left(i_{0}-1\right)^{2}}{2}+\frac{\left(2017-j_{0}\right)^{2}}{2} \leqslant \frac{\left(2016-j_{0}+i_{0}\right)^{2}}{2} \leqslant \frac{1008^{2}}{2} \end{aligned}$．
以上表明 $M \leqslant \dfrac{1008^{2}}{2}$．
另一方面，取 $a_{n}=\dfrac{(1009-n)^{2}}{2}, n=1,2, \cdots, 2017$，则 $\left|a_{1009}-a_{1}\right|=\dfrac{1008^{2}}{2}$，此时 $M=\dfrac{1008^{2}}{2}$．
设 $\left|a_{i_{0}}-a_{j_{0}}\right|=\max _{| \leqslant i<j \leqslant 2017}\left|a_{i}-a_{j}\right|=M, 1<i_{0}<2017$，则 $\left(a_{i_{0}}-a_{i_{0}-1}\right)\left(a_{i_{0}}-a_{i_{0}+1}\right) \geqslant 0$．
由条件得 $\left|a_{i_{0}}-a_{i_{0}-1}\right| \leqslant 1,\left|a_{i_0}-a_{i+1}\right| \leqslant 1$，且 $\min \left\{\left|a_{i_{0}}-a_{i_{0}-1}\right|,\left|a_{i_{0}}-a_{i_{0}+1}\right|\right\} \leqslant \dfrac{1}{2}$．
（1）若 $j_{0}=1$ 或 $2017$，
① 当 $i_0=1009$ 时，若 $\left|a_{i_{0}}-a_{i_{0}-1}\right| \leqslant \dfrac{1}{2}$，则 $\left|a_{i}-a_{1}\right| \leqslant \dfrac{1}{2}+\left(\dfrac{1}{2}+1\right)+\cdots+\left(\dfrac{1}{2}+1007\right)=\dfrac{1008^{2}}{2}$；
若 $\left|a_{i_0}-a_{i_0+1}\right| \leqslant \dfrac{1}{2}$，则 $\left|a_{i_0}-a_{2017}\right| \leqslant \dfrac{1008^{2}}{2}$．
② 当 $i_{0}<1009$ 时，若 $\left|a_{i_{0}}-a_{i_{0}-1}\right| \leqslant 1$，则 $\left|a_{i_0}-a_{1}\right| \leqslant 1+2+\cdots+1007 \leqslant \dfrac{1008^{2}}{2}$．
③ 当 $i_{0} \geqslant 1010$ 时，$\left|a_{2017}-a_{i_{0}}\right| \leqslant 1+2+\cdots+1007 \leqslant \dfrac{1008^{2}}{2}$．
（2）若 $ 1<j_0 < 2017$．设 $1 < i_0 <j_0 < 2017$．
① 若 $j_{0}-i_{0}=1008$ 时，若 $\left|a_{j_{0}}-a_{j_{0}-1}\right| \leqslant \dfrac{1}{2}$ 或 $\left|a_{i_{0}}-a_{i_{0}+1}\right| \leqslant \dfrac{1}{2}$，则 $\left|a_{j_{0}}-a_{i_{0}}\right| \leqslant \dfrac{1008^{2}}{2}$；
若 $\left|a_{i_{0}}-a_{i_{0}-1}\right| \leqslant \dfrac{1}{2}$，则 $\begin{aligned}\left|a_{j_{0}}-a_{i_{0}}\right| =\left|a_{i_{0}}-a_{1}\right|+\left|a_{2017}-a_{j_{0}}\right| \leqslant \frac{\left(i_{0}-1\right)^{2}}{2}+\frac{\left(2017-j_{0}\right)\left(2018-j_{0}\right)}{2} \leqslant \frac{1008^{2}}{2} \end{aligned}$；
若 $\left|a_{j_{0}}-a_{j_{0}+1}\right| \leqslant \dfrac{1}{2}$，则 $\begin{aligned}\left|a_{j_{0}}-a_{i_{0}}\right| &=\left|a_{i_{0}}-a_{1}\right|+\left|a_{2017}-a_{j_{0}}\right| \leqslant \frac{\left(i_{0}-1\right) i_{0}}{2}+\frac{\left(2017-j_{0}\right)^{2}}{2} \leqslant \frac{1008^{2}}{2} \end{aligned}$．
② 若 $\left|j_{0}-i_{0}\right|<1008$，则 $\left|a_{j_{0}}-a_{i_{0}}\right| \leqslant \dfrac{1007 \times 1008}{2} \leqslant \dfrac{1008^{2}}{2}$．
③ 若 $\left|j_{0}-i_{0}\right|>1008$ 时，则 $\begin{aligned}\left|a_{j_{0}}-a_{i_{0}}\right| &=\left|a_{i_{0}}-a_{1}\right|+\left|a_{2017}-a_{j_{0}}\right| \leqslant \frac{\left(i_{0}-1\right)^{2}}{2}+\frac{\left(2017-j_{0}\right)^{2}}{2} \leqslant \frac{\left(2016-j_{0}+i_{0}\right)^{2}}{2} \leqslant \frac{1008^{2}}{2} \end{aligned}$．
以上表明 $M \leqslant \dfrac{1008^{2}}{2}$．
另一方面，取 $a_{n}=\dfrac{(1009-n)^{2}}{2}, n=1,2, \cdots, 2017$，则 $\left|a_{1009}-a_{1}\right|=\dfrac{1008^{2}}{2}$，此时 $M=\dfrac{1008^{2}}{2}$．
答案
解析
备注
