设 $a,b$ 为实数，函数 $f(x)=ax+b$ 满足：对任意 $x\in [0,1]$，有 $|f(x)|\leqslant 1$．求 $S=(a+1)(b+1)$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
2015中国东南数学奥林匹克试题(高一)
【标注】
【答案】
略
【解析】
令 $t=a+b$．由已知得，$b=f(0) \in[-1,1], t=f(1)\in[-1,1]$，且 $S=(a+1)(b+1)=(t-b+1)(b+1).$
上式右端可视为关于 $t$ 的线性函数 $g(t)=(b+1) t+1-b^{2}, t \in[-1,1]$．
注意到 $b+1 \geqslant 0$，所以 $g(-1) \leqslant g(t) \leqslant g(1)$，即 $-b^{2}-b \leqslant g(t) \leqslant-b^{2}+b+2$ ①
当 $b \in[-1,1]$ 时，有
$\begin{aligned}-b^{2}-b &=-\left(b+\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{1}{4} \\ & \geqslant-\left(1+\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{1}{4}=-2 \\ b^{2}+b+2 &=-\left(b-\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{9}{4} \leqslant \frac{9}{4} \end{aligned}$
结合 ① 可知，$S=g(t) \in\left[-2, \dfrac{9}{4}\right]$．
其中，当 $t=-1, b=1$，即 $f(x)=-2 x+1$ 时，$S$ 取最小值 $-2$；
当 $t=1, b=\dfrac{1}{2}$，即 $f(x)=\dfrac{1}{2} x+\dfrac{1}{2}$ 时，$S$ 取最大值 $\dfrac{9}{4}$．
综上所述，$S$ 的取值范围是 $\left[-2, \dfrac{9}{4}\right]$．
上式右端可视为关于 $t$ 的线性函数 $g(t)=(b+1) t+1-b^{2}, t \in[-1,1]$．
注意到 $b+1 \geqslant 0$，所以 $g(-1) \leqslant g(t) \leqslant g(1)$，即 $-b^{2}-b \leqslant g(t) \leqslant-b^{2}+b+2$ ①
当 $b \in[-1,1]$ 时，有
$\begin{aligned}-b^{2}-b &=-\left(b+\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{1}{4} \\ & \geqslant-\left(1+\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{1}{4}=-2 \\ b^{2}+b+2 &=-\left(b-\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{9}{4} \leqslant \frac{9}{4} \end{aligned}$
结合 ① 可知，$S=g(t) \in\left[-2, \dfrac{9}{4}\right]$．
其中，当 $t=-1, b=1$，即 $f(x)=-2 x+1$ 时，$S$ 取最小值 $-2$；
当 $t=1, b=\dfrac{1}{2}$，即 $f(x)=\dfrac{1}{2} x+\dfrac{1}{2}$ 时，$S$ 取最大值 $\dfrac{9}{4}$．
综上所述，$S$ 的取值范围是 $\left[-2, \dfrac{9}{4}\right]$．
答案
解析
备注
