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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
20824 5c74b821210b284290fc2330 高中 解答题 自招竞赛 $\vartriangle ABC$ 的三边长分别是 $3$，$4$，$5$，矩形 $DEFG$ 的长为 $7$，宽为 $6$ 。线段 ${{s}_{1}}$ 把 $\vartriangle ABC$ 分割成三角形 ${{U}_{1}}$ 和梯形 ${{V}_{1}}$；线段 ${{s}_{2}}$ 把矩形 $DEFG$ 分为三角形 ${{U}_{2}}$ 和梯形 ${{V}_{2}}$，且 ${{U}_{1}}\sim {{U}_{2}}$，${{V}_{1}}\sim {{V}_{2}}$ 。若三角形 ${{U}_{1}}$ 面积的最小值为 $\frac{m}{n}$，其中 $m$，$n$ 是互素的正整数，求 $m+n$ 。 2022-04-17 20:23:03
20823 5c74b826210b284290fc2336 高中 解答题 自招竞赛 矩形 $ABCD$ 的长为 $36$，宽为 $15$ 。现把一个半径为 $1$ 的圆完全随机地放在矩形内，假设该圆与对角线 $AC$ 不相交的概率为 $\frac{m}{n}$，其中 $m$，$n$ 是互素的正整数，求 $m+n$ 。 2022-04-17 20:22:03
20812 5c74d61e210b28428f14cbbd 高中 解答题 自招竞赛 如图22-3所示，将一张长方形纸 $ABCD$ 中顶点为 $B$ 的一角折起来，使得顶点 $B$ 与 $AD$ 边上的点 ${B}'$ 重合。设折痕为 $EF$，其中 $E$ 点在 $AB$ 边上，$F$ 点在 $CD$ 边上．已知：$AE=8$，$BE=17$，$CF=3$，长方形 $ABCD$ 的周长为 $\frac{m}{n}$，其中 $m n$ 为互素的正整数，试求 $m+n$ 的值。 2022-04-17 20:14:03
20807 5c74d654210b28428f14cbd3 高中 解答题 自招竞赛 设 $ABCDE$ 为一个凸五边形，其中 $AB$ ∥ $CE$，$BC$ ∥ $AD$，$AC$ ∥ $DE$，$\angle ABC={{120}^{\circ }}$，$AB=3$，$BC=5 DE=15$ 。已知 $\vartriangle ABC$ 的面积与 $\vartriangle EBD$ 面积之比为 $\frac{m}{n}$，其中 $m n$ 为互素的正整数，试求 $m+n$ 的值。 2022-04-17 20:12:03
20805 5c74d662210b284290fc2392 高中 解答题 自招竞赛 有一张长 $1024$ 单位、宽 $1$ 单位的细长纸条，现要将其分成 $1024$ 个单位正方形，具体做法是将这张纸条重复对折。第一次对折时，将这张纸的右边边缘叠合在左边边缘的上面，使其成为长 $521$ 单位、宽 $1$ 单位的纸条，厚度为最初纸条的两倍。第二次对折时，也将这张纸的右边边缘叠合在左边边缘的上面，使其成为长 $256$ 单位、宽 $1$ 单位的纸条，其厚度为最初纸条的四倍。如此再重复对折 $8$ 次。对折 $10$ 次后这张细长纸条已变成厚度为最初纸条 $1024$ 倍的单位正方形。试问在原来从左边数起第 $942$ 个单位正方形的下面现在有多少个单位正方形？ 2022-04-17 20:11:03
20804 5c74dd7a210b28428f14cbec 高中 解答题 自招竞赛 六个全等的圆组成一个环，其中每个圆与相邻的两个圆与相邻的两个圆相外切。这六个圆又内切于半径为30的圆 $\omega $，用 $K$ 表示位于圆 $\omega $ 内除去这六个小圆外剩余部分的面积，求 $\left[ K \right]$（$\left[ K \right]$ 表示不超过 $K$ 的最大整数）。 2022-04-17 20:10:03
20796 5c74dddb210b284290fc23bb 高中 解答题 自招竞赛 一个直径为 $d$ 这的半圆完全包含在边长为8的正方形内，假设 $d$ 的最大值为 $m-\sqrt{n}$，其中 $m$，$n$ 是整数，求 $m+n$ 。 2022-04-17 20:06:03
20792 5c74ddfb210b28428f14cc13 高中 解答题 自招竞赛 在 $\vartriangle ABC$ 中，$AB=20$，三角形的内切圆把 $AB$ 边上的中线分割成相等的三部分。假设 $\vartriangle ABC$ 的面积 $m\sqrt{n}$，其中肌 $m$，$n$ 是整数且 $n$ 不能被任何素数的平方整除。求 $m+n$ 。 2022-04-17 20:04:03
20780 5c74eaa4210b284290fc23f2 高中 解答题 自招竞赛 在 $\vartriangle ABC$ 中，$AB=13$，$BC=15$，$CA=14$ 点 $D$ 在边 $BC$ 上，且 $CD=6$ 。点 $E$ 在边 $BC$ 上，且使得 $\angle BAE=\angle CAD$ 。设 $BE=\frac{p}{q}$，其中 $p q$ 是互素的正整数，试求 $q$ 。 2022-04-17 20:57:02
20773 5c74fe97210b284290fc2430 高中 解答题 自招竞赛 如图所示，在一组等距平行线所在的平面上作出一个角，阴影 $C$ 的面积与阴影 $B$ 的面积之比为 $\text{11}:\text{5}$，求阴影 $D$ 与阴影 $A$ 的面积之比。 2022-04-17 20:53:02
20772 5c74fea0210b284290fc2435 高中 解答题 自招竞赛 如图所示，六边形 $ABCDEF$ 被分成5个菱形 $P $，$Q$，$R$，$S$，$T$ 。菱形 $P$，$Q$，$R$，$S$ 是全等的，面积都为 $\sqrt{2006}$ 。令 $K$ 为菱形 $T$ 的面积，已知 $K$ 是正整数，试求 $K$ 的所有可能值得个数。 2022-04-17 20:52:02
20759 5c75f0d5210b28428f14cccf 高中 解答题 自招竞赛 正方形就 $ABCD$ 的边长为1，点 $E F$ 分别在 $BC CD$ 边上，且 $\vartriangle AEF$ 是等边三角形。另有一小正方形以 $B$ 为顶点，各边分别与 $ABCD$ 的各边平行，且有一顶点在线段 $AE$ 上，若小正方形的边长为 $\frac{a-\sqrt{b}}{c}$，其中 $a b c$ 均为正整数，且 $b$ 不能被任何素数的平方整除。试求 $a+b+c$ 的值。 2022-04-17 20:45:02
20753 5c75f117210b28428f14cce5 高中 解答题 自招竞赛 等边 $\vartriangle ABC$ 的外接圆半径为2。延长 $AB$ 到 $D$，使得 $AD=13$，延长 $AC$ 到 $E$，使得 $AE=11$ 。过 $D$ 作 $\vartriangle ABC$ 的平行线 ${{l}_{1}}$，过 $E$ 作 $AD$ 的平行线 ${{l}_{2}}$ 。设 $F$ 是 ${{l}_{1}}$ 与 ${{l}_{2}}$ 的交点，直线 $AF$ 交 $\vartriangle ABC$ 的外接圆于另一点 $G$ 。若 $\vartriangle CGB$ 的面积可以表示为 $\frac{p\sqrt{q}}{r}$，其中 $p q r$ 为正整数，$p$ 与 $r$ 互素，且 $q$ 不能被任何素数的平方整除，试求 $p+q+r$ 的值。 2022-04-17 20:42:02
20741 5c75fa00210b284290fc24ba 高中 解答题 自招竞赛 在等腰三角形 $ABC$ 中，点 $A$ 是直角坐标系的原点，点 $B$ 的坐标为 $\left( 20 ,0 \right)$，点 $C$ 在第一象限，且满足 $AC=BC$ 及 $\angle BAC={{75}^{\circ }}$ 。将这个三角形以 $A$ 为旋转中心逆时针旋转，直到 $C$ 点落到 $y$ 轴正半轴上为止。若此时的三角形与原三角形的公共面积为 $p\sqrt{2}+q\sqrt{3}+r\sqrt{6}+s$，其中 $p$，$q$，$r$，$s$ 是整数，求 $\frac{p-q+r-s}{2}$ 的值。 2022-04-17 20:36:02
20739 5c75fa19210b284290fc24c6 高中 解答题 自招竞赛 设 $ABC$ 是一个等边三角形，$D$ 和 $F$ 分别是 $BC$ 和 $AB$ 上的点，并满足以 $FA=5$ 及 $CD=2$，点 $E$ 在边 $CA$ 以上，且满足 $\angle DEF={{60}^{\circ }}$ 。已知三角形 $DEF$ 的面积为 $14\sqrt{3}$ 。若边 $AB$ 长的两个可能值为 $p\pm q\sqrt{r}$，其中 $p$，$q$ 是有理数，$r$ 是一个不被任何素数的平方整除的整数。求 $r$ 。 2022-04-17 20:35:02
20736 5c75ffe1210b284290fc24dc 高中 解答题 自招竞赛 正方形 $ABCD$ 的边长为 $13$，点 $E$，$F$ 是正方形外两点，$BE=DF=5$，$AE=CF=12$ 。试求 $E{{F}^{2}}$ 。 2022-04-17 20:33:02
20731 5c760012210b284290fc24e9 高中 解答题 自招竞赛 给定矩形 $ABCD$，$AB=63$，$BC=448$ 。点 $E$，$F$ 分别在 $AD$，$BC$ 边上，使得 $AE=CF=84$ 。 $\vartriangle BEF$ 的内接圆与 $EF$ 相切与点 $P$，$\vartriangle DEF$ 的内接圆与 $EF$ 相切与点 $Q$ 。试求 $PQ$ 的长度。 2022-04-17 20:30:02
20730 5c760024210b28428f14cd55 高中 解答题 自招竞赛 两根长圆柱管平行摆放在平面上，这两根圆柱管长度相同，但底面直径不同，大圆柱管底面半径为 $72$，沿平面向小圆柱管的方向滚动，小圆柱管底面半径为 $24$，大圆柱管滚过小圆柱管并贴在小圆柱管表面继续向前滚动，最后停止运动时，大圆柱管停在与出发时圆周同一点处，并完成了自身的一周转动。若小圆柱管自身不滚动（也不移动），大圆柱管滚动过程中不发生滑动，那么大圆柱管的起点和终点相距 $x$ 。 $x$ 可表示为 $a\pi +b\sqrt{c}$ 的形式，其中 $a$，$b$，$c$ 整数，$c$ 不能被任何素数的平方整除。试求 $a+b+c$ 。 2022-04-17 20:30:02
20727 5c760040210b28428f14cd6a 高中 解答题 自招竞赛 在 $\vartriangle ABC$ 的内部有四个半径相同的圆 $w$，${{w}_{A}}$，${{w}_{B}}$，${{w}_{C}}$，其中 ${{w}_{A}}$ 与边 $AB$，$AC$ 相切，${{w}_{B}}$ 与边 $BC$，$BA$ 相切，${{w}_{C}}$ 与边 $CA$，$CA$ 相切，$w$ 与，${{w}_{A}}$，${{w}_{B}}$，${{w}_{C}}$ 均外切。 $\vartriangle ABC$ 的三边长分别为 $13$，$14$，$15$ 。若 $w$ 的半径可表示为 $\frac{m}{n}$，其中 $m$，$n$ 为互素的正整数。试求 $m+n$ 。 2022-04-17 20:29:02
20725 5c761a53210b28428f14cd7f 高中 解答题 自招竞赛 正方形 $AIME$ 的边长为 $10$，等腰 $\vartriangle GEM$ 的底是 $EM$．若 $\vartriangle GEM$ 与正方形 $AIME$ 的公共部分的面积为 $80$，求 $\vartriangle GEM$ 的底边 $EM$ 上的高． 2022-04-17 20:27:02
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