矩形 $ABCD$ 的长为 $36$，宽为 $15$ 。现把一个半径为 $1$ 的圆完全随机地放在矩形内，假设该圆与对角线 $AC$ 不相交的概率为 $\frac{m}{n}$，其中 $m$，$n$ 是互素的正整数，求 $m+n$ 。
【难度】
【出处】
2004年第22届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
817
【解析】
要使圆完全放在矩形内，圆心必须位于长为 $36-2$，宽为 $15-2$ 的小矩形内。所求概率等同于在该限制下圆心到对角线 $AC$ 的距离大于 $1$ 的概率，即在长为 $34$ 宽为 $13$ 的矩形中任取一点，它到 $\vartriangle ABC$，$\vartriangle CDA$ 每一边的距离均大于 $1$ 的概率。注意到圆心在线段 $AC$ 上的概率为 $0$，而 $\vartriangle ABC$ 与 $\vartriangle CDA$ 是对称的，故只需考虑圆心在 $\vartriangle ABC$ 内的情况。
令 $AB=36,BC=15$ 。在 $\vartriangle ABC$ 内作三条线段 $EG,GF,FE$，使它们分别平行于 $\vartriangle ABC$ 的边 $AC,CB,BA$，且与对应边的距离为 $1$，如图所示。
由于这三点中的任意一点到 $\vartriangle ABC$ 两条边的距离相等，故它们分别在 $\angle A,\angle B,\angle C$ 的角平分线上．又因为 $\vartriangle EFG$ 的边与 $\vartriangle ABC$ 的边是对应平行的，故这些角平分线同样是 $\vartriangle EFG$ 的角平分线。因此 $\vartriangle ABC$ 与 $\vartriangle EFG$ 具有相同的内心，且 $\vartriangle EFG$ 内切圆的半径比 $\vartriangle ABC$ 内切圆的半径小 $1$ 。
根据内切圆的半径等于三角形的面积除以其周长的一半，不难算出 $\vartriangle ABC$ 内切圆的半径为 $\frac{36\times15}{36+15\sqrt{{{36}^{2}}+{{15}^{2}}}}=6$，故 $\vartriangle EFG$ 内切圆的半径为 $5$，因此 $\vartriangle EFG$ 与 $\vartriangle ABC$ 的相似比等于它们内切圆的半径之比为 $5$：$6$，故 $\vartriangle EFG$ 的面积为 $\frac{1}{2}\times 36\times15\times {{\left( \frac{5}{6} \right)}^{2}}=\frac{375}{2}$ 。因此所求概率为 $\frac{\frac{375}{2}}{\frac{34\times13}{2}}=\frac{375}{442}$，故 $m+n=817$ 。
令 $AB=36,BC=15$ 。在 $\vartriangle ABC$ 内作三条线段 $EG,GF,FE$，使它们分别平行于 $\vartriangle ABC$ 的边 $AC,CB,BA$，且与对应边的距离为 $1$，如图所示。
由于这三点中的任意一点到 $\vartriangle ABC$ 两条边的距离相等，故它们分别在 $\angle A,\angle B,\angle C$ 的角平分线上．又因为 $\vartriangle EFG$ 的边与 $\vartriangle ABC$ 的边是对应平行的，故这些角平分线同样是 $\vartriangle EFG$ 的角平分线。因此 $\vartriangle ABC$ 与 $\vartriangle EFG$ 具有相同的内心，且 $\vartriangle EFG$ 内切圆的半径比 $\vartriangle ABC$ 内切圆的半径小 $1$ 。根据内切圆的半径等于三角形的面积除以其周长的一半，不难算出 $\vartriangle ABC$ 内切圆的半径为 $\frac{36\times15}{36+15\sqrt{{{36}^{2}}+{{15}^{2}}}}=6$，故 $\vartriangle EFG$ 内切圆的半径为 $5$，因此 $\vartriangle EFG$ 与 $\vartriangle ABC$ 的相似比等于它们内切圆的半径之比为 $5$：$6$，故 $\vartriangle EFG$ 的面积为 $\frac{1}{2}\times 36\times15\times {{\left( \frac{5}{6} \right)}^{2}}=\frac{375}{2}$ 。因此所求概率为 $\frac{\frac{375}{2}}{\frac{34\times13}{2}}=\frac{375}{442}$，故 $m+n=817$ 。
答案
解析
备注
