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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
19669 5d19b4db210b280220ed52fc 高中 解答题 自招竞赛 设 $f(x)=(x+a)(x+b)$（$a ,b$ 是给定的正实数），$n\geqslant 2$ 为给定的整数．对满足 $x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}=1$ 的非负实数 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$，求 $\displaystyle \boldsymbol{F}=\sum\limits_{1 \leqslant i<j \leqslant n} \min \left\{f\left(x_{i}\right), f\left(x_{j}\right)\right\}$ 的最大值． 2022-04-17 19:38:52
19664 5d19e94d210b280220ed53b8 高中 解答题 自招竞赛 求所有的正实数 $t$ 满足：存在一个由实数组成的无限集合 $X$，使得对任意的 $x,y,z\in X$（x，y，z可相同），及任意实数 $a$ 与正实数 $d$，均有 $\max \{|x-(a-d)|,|y-a|,|z-(a+d)|\}>t d$． 2022-04-17 19:35:52
19652 5d1b1f04210b28021fc77d12 高中 解答题 自招竞赛 设集合 $X=\{1,2, \cdots, 100\}$，函数 $f : X \rightarrow X$ 同时满足
（1）对任意的 $x\in X$，均有 $f(x)\ne x$；
（2）对集合 $X$ 的任意一个 $40$ 元子集 $A$，均有 $A\bigcap f(A)\ne \varnothing$．
求最小的正整数 $k$，使得对任意满足上述条件的函数 $f$，均存在集合 $X$ 的 $k$ 元子集 $B$，使得 $B \cup f(B)=X$．
注：对集合 $X$ 的子集 $T$，定义 $f(T)=\{f(t) | t \in T\}$．		 2022-04-17 19:29:52
19649 5d1c4a46210b280220ed55a3 高中 解答题 自招竞赛 给定实数 $r \in(0,1)$．证明：若 $n$ 个复数 $z_{1}, z_{2}, \cdots, z_{n}$ 满足 $\left|z_{k}-1\right| \leqslant r(k=1,2, \cdots, n)$，则 $\left|z_{1}+z_{2}+\cdots+z_{n}\right|\left|\dfrac{1}{z_{1}}+\dfrac{1}{z_{2}}+\cdots+\dfrac{1}{z_{n}}\right|\geqslant n^{2}\left(1-r^{2}\right)$． 2022-04-17 19:28:52
19644 5d1c5651210b28021fc77ddd 高中 解答题 自招竞赛 设非负整数的无穷数列 $a_{1}, a_{2}, \cdots$ 满足：对任意正整数 $m,n$，均有 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{2 m} a_{i n} \leqslant m$．证明：存在正整数 $k、d$，满足 $\sum_\limits{i=1}^{2 k} a_{i d}=k-2014$． 2022-04-17 19:26:52
19641 5d1d6f28210b28021fc77eb2 高中 解答题 自招竞赛 设正整数 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{31}, b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{31}$ 满足
（1）$a_{1}<a_{2}<\cdots<a_{31} \leqslant 2015,b_{1}<b_{2}<\cdots<b_{31} \leqslant 2015$
（2）$a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{31}=b_{1}+b_{2}+\cdots+b_{31}$．
求 $ S=\left|a_{1}-b_{1}\right|+\left|a_{2}-b_{2}\right|+\cdots+\left|a_{31}-b_{31}\right|$ 的最大值．		 2022-04-17 19:25:52
19586 5d1dd5f6210b280220ed57db 高中 解答题 自招竞赛 给定整数 $n\geqslant 2$，以及正数 $a<b$．设实数 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} \in[a, b]$．求
$\dfrac{\frac{x_{1}^{2}}{x_{2}}+\frac{x_{2}^{2}}{x_{3}}+\cdots+\frac{x_{n-1}^{2}}{x_{n}}+\frac{x_{n}^{2}}{x_{1}}}{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}}$ 的最大值．		 2022-04-17 19:53:51
19580 5d22d00d210b280220ed5a34 高中 解答题 自招竞赛 已知 $n、k$ 为正整数，$n > k$．给定实数 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n} \in(k-1, k)$．设正实数 $x_{1}, x_{2},\cdots, x_{n}$ 满足对 $\{ 1 ,2, \cdots,n\}$ 的任意 $ k $ 元子集 $ I $，均有 $ \sum_{i \in I} x_{i} \leqslant \sum_{i \in I} a_{i} $．求 $ x_{1} x_{2} \cdots x_{n}$ 的最大值． 2022-04-17 19:49:51
19574 5ca5db51210b28107f52abed 高中 解答题 自招竞赛 设点 $P_{1}, P_{2}, \cdots, P_{2018}$ 放在给定正五边形的内部或边界上．求所有的放置方式使得 $\displaystyle S=\sum\limits_{1 \leqslant i<j \leqslant 2018}\left|P_{i} P_{j}\right|^{2}$ 取到最大值． 2022-04-17 19:45:51
19560 5d257112210b28021fc7830d 高中 解答题 自招竞赛 设 $a_{i} \geqslant 0, x_{i} \in \mathbf{R}, i=1,2, \cdots, n$．证明：$\displaystyle \left[\left(1-\sum\limits_{i=1}^{n} a_{i} \cos x_{i}\right)^{2}+\left(1-\sum_{i=1}^{n} a_{i} \sin x_{i}\right)^{2}\right]^{2} \geqslant 4\left(1-\sum_{i=1}^{n} a_{i}\right)^{3}$． 2022-04-17 19:39:51
19558 5d259ef3210b28021fc78356 高中 解答题 自招竞赛 设 $n$ 是正整数，$X$ 是有限集合，映射 $f : X \rightarrow X$ 满足 $f^{(n)}(x)=x$，对任意 $x \in X$，其中 $f^{1}(x)=f(x), f^{(i)}(x)=f\left(f^{(i-1)}(x)\right),i\geqslant 2$．记 $m_j$ 为集合 $\left\{x \in X | f^{{j}}(x)=x\right\}$ 的元素个数．对于任意整数 $k$，证明：
（1）$\displaystyle \dfrac{1}{n} \sum\limits_{j=1}^{n} m_{j} \sin \dfrac{2 j k \pi}{n}=0$；
（2）$\displaystyle \dfrac{1}{n} \sum\limits_{j=1}^{n} m_{j} \cos \dfrac{2 j k \pi}{n}$ 是非负整数．		 2022-04-17 19:38:51
19542 5d26dce3210b28021fc784a7 高中 解答题 自招竞赛 设 $n$ 是正整数，$a_{1}, \ldots, a_{n} \in\{0,1, \cdots, n\}$．对整数 $j(1 \leqslant j \leqslant n)$．定义 $b_j$ 为集合 $\left\{i | i \in\{1, \cdots, n\}, a_{i} \geqslant j\right\}$ 的元素个数．例如：当 $n =3$ 时，若 $a_{1}=1, a_{2}=2, a_{3}=1$，则对应的 $b_{1}=3,b_{2}=1, b_{3}=0$．
（1）证明：$\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{n}\left(i+a_{i}\right)^{2} \geqslant \sum_{i=1}^{n}\left(i+b_{i}\right)^{2}$；
（2）证明：若整数 $k \geqslant 3$，则 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{n}\left(i+a_{i}\right)^{k} \geqslant \sum_{i=1}^{n}\left(i+b_{i}\right)^{k}$．		 2022-04-17 19:31:51
19509 5d2d304e210b28021fc7867d 高中 解答题 自招竞赛 设实数 $a、b、c、d$ 满足 $abcd >0$，证明：存在 $a、b、c、d$ 的一个排列．$x、y、z、w$，使得 $2(xz+yw)^2 >(x^2＋y^2)(z^2 +w^2)$． 2022-04-17 19:13:51
19507 5d2d3910210b28021fc786c2 高中 解答题 自招竞赛 给定正整数 $n、k,k\leqslant n-2$．设实数集 $\left\{a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right\}$ 的任意 $k$ 元子集的元素和的绝对值不超过 $1$．证明：若 $\left|a_{1}\right| \geqslant 1$，则对任意的 $ 2\leqslant i\leqslant n$，有 $\left|a_{1}\right|+\left|a_{i}\right| \leqslant 2$． 2022-04-17 19:12:51
19504 5d2d4453210b280220ed6142 高中 解答题 自招竞赛 设 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ 是 $n$ 个非负实数，记 $\displaystyle S_{k}=\sum\limits_{i=1}^{k} a_{i}, 1 \leqslant k \leqslant n$．证明：$\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{n}\left(a_{i} S_{i} \sum_{j=i}^{n} a_{j}^{2}\right) \leqslant \sum_{i=1}^{n}\left(a_{i} S_{i}\right)^{2}$． 2022-04-17 19:10:51
19495 5d2d7507210b280220ed6199 高中 解答题 自招竞赛 给定正整数 $n$，实数 $x_1 , x_2 , \ldots , x_n$ 满足 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n}x_k$ 为整数．
记 $d_k =\min\limits_{m\in\mathbb{Z}}|x_k -m|$，$1\leqslant k\leqslant n$．求 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n}d_k$ 的最大值．		 2022-04-17 19:06:51
19493 5d2e8326210b280220ed6215 高中 解答题 自招竞赛 设整数 $n\geqslant 2$，正实数 $x_1 , x_2 , \ldots , x_n$ 满足 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^n x_i =1$．
证明：$\displaystyle
\left(\sum\limits_{i=1}^{n} \frac{1}{1-x_{i}}\right)\left(\sum_{1 \leqslant i<j \leqslant n} x_{i} x_{j}\right) \leqslant \dfrac{n}{2}
$		 2022-04-17 19:05:51
19490 5d2e8b3a210b280220ed6255 高中 解答题 自招竞赛 对数列 $a_1 , a_2 , \ldots , a_m$，定义集合 $A=\{a_i ~|~ 1\leqslant i\leqslant m\}$，$B=\{a_i +2a_j ~|~1\leqslant i,j\leqslant m,~i\neq j\}$．
设 $n$ 为给定的大于 $2$ 的整数，对所有由正整数组成的严格递增的等差数列 $a_1 , a_2 , \ldots , a_n$，求集合 $A\Delta B$ 的元素个数的最小值．（其中 $A\Delta B=(A \cup B)\backslash(A\cap B)$．		 2022-04-17 19:03:51
19486 5d2ea98e210b28021fc787bd 高中 解答题 自招竞赛 设 $x,y$ 是正实数，求 $x+y+\dfrac{|x-1|}{y}+\dfrac{|y-1|}{x}$ 的最小值． 2022-04-17 19:01:51
19481 5d2ebd37210b280220ed62ed 高中 解答题 自招竞赛 给定整数 $n\geqslant 2$，设实数 $x_1 , x_2 , \ldots , x_n$ 满足：
（1）$\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{n}x_i =0$；
（2）$|x_i | \leqslant 1$，$i=1,2,\ldots , n$．
求 $\min\limits_{1\leqslant i\leqslant n-1}|x_i - x_{i+1}|$ 的最大值．		 2022-04-17 19:58:50
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