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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
15170 5ca56aa0210b281080bfd98f 高中 解答题 自招竞赛 设 $a>0$，函数 $f\text{:}\left( 0\text{,}+\infty \right)\to \mathbb{R}$ 满足 $f\left( a \right)\text{=}1$ 。如果对任意正实数 $x\text{,}y$，有 $f\left( x \right)f\left( y \right)+f\left( \frac{a}{x} \right)f\left( \frac{a}{y} \right)\text{=}2f\left( xy \right)$，求证：$f\left( x \right)$ 为常数。 2022-04-17 19:14:11
15165 5ca56b19210b281080bfd9a1 高中 解答题 自招竞赛 设 ${{x}_{i}}>0\left( i\text{=}1\text{,}2\text{,}\cdots \text{,}n \right)$，$k\geqslant 1$，求证：$\displaystyle \sum\limits_{i\text{=1}}^{n}{\frac{1}{1+{{x}_{i}}}}\cdot \sum\limits_{i\text{=1}}^{n}{{{x}_{i}}}\leqslant \sum\limits_{i\text{=1}}^{n}{\frac{x_{i}^{k+1}}{1+{{x}_{i}}}}\cdot \sum\limits_{i\text{=1}}^{n}{\frac{1}{x_{i}^{k}}}$ 2022-04-17 19:11:11
15163 5ca5a67a210b28107f52ab6f 高中 解答题 自招竞赛 给定绝对值都不大于 $10$ 的整数 $a\text{,}b\text{,}c$，三次多项式 $f\left( x \right)\text{=}{{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+bx+c$ 满足条件 $\left| f\left( 2+\sqrt{3} \right) \right|\text{}0.0001$ 。问：$2+\sqrt{3}$ 是否一定是这个多项式的根？ 2022-04-17 19:10:11
15161 5cac179f210b2866bc014601 高中 解答题 自招竞赛 已知实系数多项式 $\varphi \left( x \right)\text{=}a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$ 有三个正根，且 $\varphi \left( 0 \right)$ < $0$ 。求证：$2{{b}^{3}}+9{{a}^{2}}d-7abc\leqslant 0$ 2022-04-17 19:10:11
15160 5cac17b5210b2866bc014612 高中 解答题 自招竞赛 设正数列 ${{x}_{1}},{{x}_{2}},\cdots ,{{x}_{n}},\cdots $．满足 $\left( 8{{x}_{2}}-7{{x}_{1}} \right)x_{1}^{7}\text{=}8$ 及 ${{x}_{k+1}}{{x}_{k-1}}-x_{k}^{2}\text{=}\frac{x_{k-1}^{8}-x_{k}^{8}}{{{\left( {{x}_{k}}{{x}_{k-1}} \right)}^{7}}}\left( k\geqslant 2 \right)$ 。 求正实数 $a$，使得当 ${{x}_{1}}$ > $a$ 时，有单调性 ${{x}_{1}}$ > ${{x}_{2}}$ > $\cdots $ > ${{x}_{n}}$ > $\cdots $；当 $0$ < ${{x}_{1}}$ < $a$ 时，不具有单调性。 2022-04-17 19:09:11
15158 5cac2725210b2866bc01463b 高中 解答题 自招竞赛 求证：方程 $abc\text{=}2009\left( a+b+c \right)$ 只有有限组正整数解 $\left( a\text{,}b\text{,}c \right)$ 。 2022-04-17 19:08:11
15157 5cac274c210b2866bc014647 高中 解答题 自招竞赛 设实数 $x\text{,}y\text{,}z$ 大于或等于 $1$ 。求证：$\left( {{x}^{2}}-2x+2 \right)\left( {{y}^{2}}-2y+2 \right)\left( {{z}^{2}}-2z+2 \right)\leqslant {{\left( xyz \right)}^{2}}-2xyz+2$ 2022-04-17 19:07:11
15156 5cac35cb210b281942e4f4fc 高中 解答题 自招竞赛 设正数 $a$、$b$、$c$、$d$ 满足 $abcd=1$ 。证明：$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}+\frac{9}{a+b+c+d}\geqslant \frac{25}{4}$ 。 2022-04-17 19:07:11
15155 5caecd75210b280220ed1c22 高中 解答题 自招竞赛 对整数 $m\geqslant 4$，定义 ${{T}_{m}}$ 为满足下列条件的数列 ${{a}_{1}},{{a}_{2}},\cdots ,{{a}_{m}}$ 的个数：
a）对每个 $i=1,2,\cdots ,m$，${{a}_{i}}\in \{1,2,3,4\}$；
b）${{a}_{1}}={{a}_{m}}=1$，${{a}_{2}}\ne 1$；
c）对每个 $i=3,4,\cdots ,m$，$a{}_{i}\ne {{a}_{i-1}}$，${{a}_{i}}\ne {{a}_{i-2}}$ 。
证明：存在各项均为正数的等比数列 $\{{{g}_{n}}\}$，使得对任意整数 $n\geqslant 4$，均有 ${{g}_{n}}-2\sqrt{{{g}_{n}}}<{{T}_{n}}<{{g}_{n}}+2\sqrt{{{g}_{n}}}$ 。		 2022-04-17 19:06:11
15152 5caed9ee210b280220ed1c55 高中 解答题 自招竞赛 设 $a\in(0,1)$，且
$\begin{align}
& f(x)=a{{x}^{3}}+(1-4a){{x}^{2}}+(5a-1)x+(3-5a),\\
&g(x)=(1-a){{x}^{3}}-{{x}^{2}}+(2-a)x-(3a+1).
\end{align}$
求证：对于任意实数 $x$，$\left| f(x) \right|$ 和 $\left| g(x) \right|$ 中都至少有一个不小于 $1+a$．		 2022-04-17 19:04:11
15109 5d070ac0210b280220ed4654 高中 解答题 自招竞赛 给定实数 $a$，设实多项式序列 $|f_n(x) |$ 满足 $\begin{cases}
f_0(x)=1\\
f_{n+1}(x)=xf_n(x)+f_n(ax),n=0,1,2,\cdots\\
\end{cases}$
（1）求证：$f_n(x)=x^nf_n(\dfrac{1}{x}),n=0,1,2,\cdots$
（2）求 $f_n(x)$ 的明显表达式．		 2022-04-17 19:39:10
15106 5d07348f210b280220ed46da 高中 解答题 自招竞赛 求最大的实数 $\lambda$，使得当实系数多项式 $f(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+c$ 的所有根都是非负实数时，只要 $x\geqslant 0$，就有 $f(x) \geqslant \lambda(x-a)^{3}$ 并问上式中等号何时成立？ 2022-04-17 19:38:10
15104 5d075b3b210b28021fc773d0 高中 解答题 自招竞赛 设 $n\geqslant 2$，对 $n$ 元有序实数组 $A=\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right)$ 令 $b_{k}=\max\limits _{1 \leqslant i \leqslant k} a_{i}, k=1,2, \cdots, n$ 称 $B=\left(b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}\right)$ 为 $A$ 的“创新数组”，称 $B$ 中的不同元紫个数为 $A$ 的“创新阶数"．
考察 $1,2, \cdots,n$ 的所有排列（将每种排列都视为一个有序数组），对其中创新阶数为 $2$ 的所有排列，求它们的每一项的算术平均值．		 2022-04-17 19:37:10
15101 5d103aa5210b280220ed4ae4 高中 解答题 自招竞赛 设 $a,b,c,d$ 为正实数，满足 $ab+cd=1$，点 $P_{i}\left(x_{i}, y_{i}\right)(i = 1,2,3,4)$ 是以原点为圆心的单位圆周上的四个点求证：
$ \left(a y_{1}+b y_{2}+c y_{3}+d y_{4}\right)^{2}+\left(a x_{4}+b x_{3}+c x_{2}+d x_{1}\right)^{2} \leqslant 2\left(\frac{a^{2}+b^{2}}{a b}+\frac{c^{2}+d^{2}}{c d}\right)$		 2022-04-17 19:35:10
15100 5d1057cd210b280220ed4b4b 高中 解答题 自招竞赛 已知正整数 $c$，设数列 $x_1,x_2, \cdots$ 满足 $x_1 = c$ 且 $x_{n}=x_{n-1}+\left[\dfrac{2 x_{n-1}-(n+2)}{n}\right]+1, n=2,3, \cdots$
其中 $[x]$ 表示不大于 $x$ 的最大整数，求数列 ${x_n}$ 的通项公式．		 2022-04-17 19:35:10
15098 5d106852210b280220ed4b9d 高中 解答题 自招竞赛 给定正整数 $n \geqslant 2$，设正整数 $a_{i}(i=1,2, \cdots, n)$ 满足 $a_1<a_{2}<\cdots<a_{n}$ 以及 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{n} \frac{1}{a_{i}} \leqslant 1$．求证：对任意实数 $x$，有 $\displaystyle \left(\sum\limits_{i=1}^{n} \frac{1}{a_{i}^{2}+x^{2}}\right)^{2} \leqslant \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{a_{1}\left(a_{1}-1\right)+x^{2}}$ 2022-04-17 19:34:10
15096 5d1079db210b28021fc7771f 高中 解答题 自招竞赛 设 $\theta_{i} \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right), i=1,2,3,4$．证明：存在 $x \in \mathbf{R}$，使得如下两个不等式
$\cos ^{2} \theta_{1} \cos ^{2} \theta_{2}-\left(\sin \theta_{1} \sin \theta_{2}-x\right)^{2} \geqslant 0$ ①
$\cos ^{2} \theta_{3} \cos ^{2} \theta_{4}-\left(\sin \theta_{3} \sin \theta_{4}-x\right)^{2} \geqslant 0$ ②
同时成立的充要条件是
$\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{4} \sin ^{2} \theta_{i} \leqslant 2\left(1+\prod_{i=1}^{4} \sin \theta_{i}+\prod_{i=1}^{4} \cos \theta_{i}\right)$ ③		 2022-04-17 19:34:10
15089 5d1dd32a210b28021fc77fb6 高中 解答题 自招竞赛 已知数列 $\left\{u_{n}\right\},\left\{v_{n}\right\}$ 满足
$u_{0}=u_{1}=1$
$u_{n}=2 u_{n-1}-3 u_{n-2}(n \geqslant 2)$
$v_{0}=a, v_{1}=b, v_{2}=c$
$v_{n}=v_{n-1}-3 v_{n-2}+27 v_{n-3}(n \geqslant 3)$
假设存在正整数 $N$，使得当 $n\geqslant N$ 时，$v_n$ 均为整数且可被 $u_n$ 整除．证明：$3a=2b+c$．		 2022-04-17 19:31:10
15088 5d259baf210b280220ed5c6a 高中 解答题 自招竞赛 求最大的实数 $C$．使得对任意正整数 $n$ 和满足 $0=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\cdots<x_{n}=1$ 的数列 $\{x_k\}$，均有 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n} x_{k}^{2}\left(x_{k}-x_{k-1}\right)>C$． 2022-04-17 19:30:10
15086 5d26fb64210b280220ed5f09 高中 解答题 自招竞赛 设数列 $a_{1}, a_{2}, \dots$ 的前 $n$ 项之和为 $S_{n}=a_{1}+\cdots+a_{n}$，满足 $S_{1}=1, S_{n+1}=\dfrac{\left(2+S_{n}\right)^{2}}{4+S_{n}}, n \geqslant 1$
证明：对每个正整数 $n$，有 $a_{n} \geqslant \dfrac{4}{\sqrt{9 n+7}}$．		 2022-04-17 19:29:10
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