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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
27577 59084af0060a05000a4a98c9 高中 解答题 自招竞赛 求所有的整系数多项式 $P(x)$，使得存在一个无穷项整数数列 $\{a_n\}$，其中任意两项互不相等，且满足：$P(a_1)=0$，$P(a_{k+1})=a_k$（$k=1,2,\cdots $）． 2022-04-17 21:32:05
26352 592e1e3ceab1df0007bb8c96 高中 解答题 高考真题 对于数列 $A_n:a_1,a_2,\cdots,a_n(a_i\in\mathbb N,i=1,2,\cdots,n)$，定义“$T$ 变换”：$T$ 将数列 $A_n$ 变换成数列 $B_n:b_1,b_2,\cdots,b_n$，其中 $b_i=|a_i-a_{i+1}|(i=1,2,\cdots,n-1)$，且 $b_n=|a_n-a_1|$，这种“$T$ 变换”记作 $B_n=T(A_n)$．继续对数列 $B_n$ 进行“$T$ 变换”，得到数列 $C_n$，$\cdots$，依次类推，当得到的数列各项均为 $0$ 时，变换结束． 2022-04-17 20:09:54
26337 592e2c8beab1df000ab6eba9 高中 解答题 高中习题 设 $S_n$ 为数列 $\{a_n\}$ 的前项和（$n=1,2,3,\cdots$），按如下方式定义数列 $\{a_n\}:a_1=m(m\in\mathbb N^*)$，对任意 $k\in\mathbb N^*$，$k>1$，设 $\{a_n\}$ 为满足 $0\leqslant a_k\leqslant k-1$ 的整数，且 $k$ 整除 $S_k$． 2022-04-17 20:02:54
24027 59ba35d398483e0009c7318c 高中 解答题 高中习题 数列 $\{a_n\},\{b_n\},\{c_n\}$ 满足 $a_1=a$，$b_1=b$，$c_1=c$，对任意正整数 $n$，均有\[\begin{aligned}
a_{n+1}&=\left|b_n-c_n\right|,\\
b_{n+1}&=\left|c_n-a_n\right|,\\
c_{n+1}&=\left|a_n-b_n\right|
,\end{aligned}\]求证：对任意正整数 $a,b,c$，均存在正整数 $m$，使得 $a_{m+1}-a_m=b_{m+1}-b_m=c_{m+1}-c_m=0$．		 2022-04-17 20:58:32
23716 59b62305b04965000728302f 高中 解答题 高中习题 各项均为非负整数的数列 $\left\{a_n\right\}$ 同时满足下列条件：
① $a_1=m$，其中 $m\in \mathbb{N}^{*}$；
② 当正整数 $n \geqslant 2$ 时，恒有 $a_n \leqslant n-1$；
③ 对任意正整数 $n$，均有 $n$ 是 $S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n$ 的因数．		 2022-04-17 20:11:30
23096 590adb2c6cddca0008610f4c 高中 解答题 高中习题 对于数列 $A:a_1,a_2,\cdots,a_n$，经过变换 $T$：交换 $A$ 中某相邻两段的位置（数列 $A$ 中的一项或连续的几项称为一段），得到数列 $T(A)$．例如，数列 $A$：$$a_1,\cdots,a_i,\underbrace{a_{i+1},\cdots,a_{i+p}}_M,\underbrace{a_{i+p+1},\cdots,a_{i+p+q}}_N,a_{i+p+q+1},\cdots,a_n$$经交换 $M$、$N$ 两段位置，变换为数列 $T(A)$：$$a_1,\cdots,a_i,\underbrace{a_{i+p+1},\cdots,a_{i+p+q}}_N,\underbrace{a_{i+1},\cdots,a_{i+p}}_M,a_{i+p+q+1},\cdots,a_n,$$其中 $p\geqslant 1$，$q\geqslant 1$．设 $A_0$ 是有穷数列，令 $A_{k+1}=T\left(A_k\right)$（$k=0,1,2,\cdots$）． 2022-04-17 20:24:24
22614 59ba35d398483e0009c7318e 高中 解答题 高中习题 设数列 $\{a_n\},\{b_n\},\{c_n\},\{d_n\}$ 满足 $a_1=a$，$b_1=b$，$c_1=c$，$d_1=d$，对任意正整数 $n$，均有\[\begin{split}
a_{n+1}&=\left|a_n-b_n\right|,\\
b_{n+1}&=\left|b_n-c_n\right|,\\
c_{n+1}&=\left|c_n-d_n\right|,\\
d_{n+1}&=\left|d_n-a_n\right|
,\end{split}\]求证：对任意正整数 $a,b,c,d$，均存在正整数 $m$，使得 $a_m=b_m=c_m=d_m=0$．		 2022-04-17 20:52:19
22501 592784e274a309000ad0ce63 高中 解答题 高考真题 定义 $\tau(a_1,a_2,\cdots ,a_n)=|a_1-a_2|+|a_2-a_3|+\cdots +|a_{n-1}-a_n|$ 为有限项数列 $\{a_n\}$ 的波动强度． 2022-04-17 20:47:18
22490 59278a8674a309000997fbfd 高中 解答题 高中习题 对于每项均是正整数的数列 $A$：$a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}$，定义变换 $T_{1}$，$T_{1}$ 将数列 $A$ 变换成数列 $T_{1}(A)$：$n,a_{1}-1,a_{2}-1,\cdots,a_{n}-1$．对于每项均是非负整数的数列 $B:b_{1},b_{2},\cdots,b_{m}$，定义变换 $T_{2}$，$T_{2}$ 将数列 $B$ 各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列 $T_{2}(B)$；又定义\[S(B)=2(b_{1}+2b_{2}+\cdots+mb_{m})+b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+\cdots+b_{m}^{2}.\]设 $A_{0}$ 是每项均为正整数的有穷数列，令 $A_{k+1}=T_{2}\left(T_{1}(A_{k})\right)(k=0,1,2,\cdots)$． 2022-04-17 20:42:18
21509 5a694952fab5d70008dc26b0 高中 解答题 高中习题 $n$ 个白球和 $n+1$ 个黑球任意排成一列．证明：无论如何排列，都至少存在一个黑球，其左侧（不包括它自己）的黑球和白球个数相等（可以为 $0$）． 2022-04-17 20:40:09
21506 5912beb0e020e70007fbeeb0 高中 解答题 自招竞赛 $2008$ 个白球和 $2009$ 个黑球任意排成一列．证明：无论如何排列，都至少存在一个黑球，其左侧（不包括它自己）的黑球和白球个数相等（可以为 $0$）． 2022-04-17 20:38:09
15374 598958b15a1cff0009ea22d2 高中 解答题 自招竞赛 $2013$ 个白球和 $2014$ 个黑球任意排成一列，求证：无论如何排列，都至少有个黑球，其左侧（不包括它自己）的黑球和白球的个数相等（可以为 $0$）． 2022-04-17 19:03:13
12227 5ffbbfee210b28031bc9258a 高中 填空题 高中习题 一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过顶点的直线将其剪成两部分，拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分，又从得到的 $3$ 部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分，$\ldots$，如此下去，最后得到 $34$ 个 $62$ 边形和一些多边形纸片，则至少要减的刀数是 ． 2022-04-16 22:12:38
3714 590c38ce857b4200085f8604 高中 选择题 高中习题 若数列 $\{a_n\}$ 满足：存在正整数 $T$，对于任意正整数 $n$ 都有 $a_{n+T}=a_n$ 成立，则称数列 $\{a_n\}$ 为周期数列，周期为 $T$．已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=m(m>0)$，$a_{n+1}=\begin{cases}a_n-1,&a_n>1,\\\dfrac {1}{a_n},&0<a_n\leqslant 1.\end{cases}$ 则下列结论中错误的是 \((\qquad)\) 2022-04-15 20:34:27
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