对于数列 $A_n:a_1,a_2,\cdots,a_n(a_i\in\mathbb N,i=1,2,\cdots,n)$，定义“$T$ 变换”：$T$ 将数列 $A_n$ 变换成数列 $B_n:b_1,b_2,\cdots,b_n$，其中 $b_i=|a_i-a_{i+1}|(i=1,2,\cdots,n-1)$，且 $b_n=|a_n-a_1|$，这种“$T$ 变换”记作 $B_n=T(A_n)$．继续对数列 $B_n$ 进行“$T$ 变换”，得到数列 $C_n$，$\cdots$，依次类推，当得到的数列各项均为 $0$ 时，变换结束．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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试问 $A_3:4,2,8$ 和 $A_4,1,4,2,9$ 经过不断的“$T$ 变换”能否结束？若能，请依次写出经过“$T$ 变换”得到的各数列；若不能，说明理由；标注答案$A_3$ 不能经过若干次“$T$ 变换”结束，$A_4$ 可以经过 $4$ 次“$T$ 变换”结束解析由题\[\begin{split}&4,2,8\to2,6,4\to4,2,2\to2,0,2\to2,2,0\to,0,2,2\to,2,0,2\to\cdots,\\&1,4,2,9\to3,2,7,8\to1,5,1,5\to4,4,4,4\to0,0,0,0\end{split}\]所以 $A_3$ 不能经过若干次“$T$ 变换”结束，$A_4$ 可以经过 $4$ 次“$T$ 变换”结束．
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求 $A_3:a_1,a_2,a_3$ 经过有限次“$T$ 变换”后能够结束的充要条件；标注答案$A_3$ 是常数列解析记全零数列为 $O_n:0,0,\cdots,0$，常数列 $I_n:m,m,\cdots,m$．
此外，若 $T(A_n)=B_n$，则 $A_n=T^{-1}(B_n)$，称 $T^{-1}$ 为 $T$ 变换的逆变换，显然 $T^{-1}(O_n)=I_n$．
由于 $|a_1-a_2|=|a_2-a_3|=|a_3-a_1|$，所以 $a_1=a_2=a_3$，所以 $T^{-1}(I_n)$ 也为常数列．
因此 $A_3$ 经过有限次“$T$ 变换”后能够结束的充要条件为 $A_3$ 是常数列． -
证明：$A_4:a_1,a_2,a_3,a_4$ 一定能经过有限次“$T$ 变换”后结束．标注答案略解析将数列的首项与末项视为相邻，考虑数列 $A_4$ 中的最大项 $\max(A_4)$ 与数列 $T(A_4)$ 中的最大项 $\max(T(A_4))$．显然$$\max(T(A_4))=|a_i-a_j|\leqslant\max(a_i,a_j)\leqslant\max(A_4),$$其中 $a_i$ 和 $a_j$ 是数列 $A_4$ 中相邻两项．
于是，容易知道：
当 $A_4$ 中没有为零的项或为零的项与最大项不相邻时，$\max(T(A_4))<\max(A_4)$，记为 $\alpha$ 型；
当 $A_4$ 中存在为零的项与最大项相邻时，$\max(T(A_4))=\max(A_4)$，记为 $\beta$ 型．
若证明了命题 $P$：非 $O_4$ 的 $\beta$ 型数列一定可以通过有限次 $T$ 变换转化为 $\alpha$ 型数列．
那么由于 $\alpha$ 型数列的最大项会因为 $T$ 变换减小，于是随着 $T$ 变换的进行，$\alpha$ 型数列最终将不再出现，因此数列经过有限次 $T$ 变换可以得到 $O_4$，即命题得证．
下面证明命题 $P$，以下设$$a,b,c>0;a>b;a>c;b\ne c;T_n(A_n)=T(T_{n-1}(A_n)),$$非 $O_4$ 的 $\beta $ 型数列有以下几种：
① 三个不同正数及零
$A_4:0,a,b,c;T(A_4)=a,a-b,|b-c|,c$ 为 $\alpha$ 型数列；
② 两个不同正数及零
$B_4:0,a,b,a;T(B_4)=a,a-b,a-b,a$ 为 $\alpha$ 型数列；
$C_4:0,a,a,b;T(C_4)=a,0,a-b,b; T_2(C_4)=a,a-b,|a-2b|,a-b$ 为 $\alpha$ 型数列；
$D_4:0,0,a,b;T(D_4)=0,a,a-b,b; T_2(D_4)=a,b,|a-2b|,b$ 为 $\alpha$ 型数列；
$E_4:0,a,0,b;T(E_4)=a,a,b,b$ 为 $\alpha$ 型数列；
③ 一个正数及零
$F_4:0,a,a,a;T(F_4)=a,0,0,a;T_2(F_4)=a,0,a,0;T_3(F_4)=a,a,a,a$ 为 $\alpha$ 型数列；
$G_4:0,0,a,a;T(G_4)=0,a,0,a; T_2(G_4)=a,a,a,a$ 为 $\alpha$ 型数列；
$H_4:0,a,0,a;T(H_4)=a,a,a,a$ 为 $\alpha$ 型数列；
$J_4:0,0,0,a;T(J_4)=0,0,a,a;T_2(J_4)=0,a,0,a;T_3(J_4)=a,a,a,a$ 为 $\alpha$ 型数列；
由于 $T$ 变换的轮换对称性，对其他非 $O_4$ 的 $\beta$ 型数列也可以通过若干次 $T$ 变换变为 $\alpha$ 型数列．这就证明了非 $O_4$ 的 $\beta$ 型数列一定可以经过有限次 $T$ 变换转化为 $\alpha$ 型数列．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
