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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
19754 5d12d999210b28021fc7785c 高中 解答题 自招竞赛 已知 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{11}$ 为给定的 $11$ 个互不相同的正整数，且总和小于 $2 007$．在黑板上依次写若 $1,2, \cdots, 2 007$ 这 $2 007$ 个数．将连续的 $22$ 次操作定义为一个操作组：第 $i$ 次操作可以从黑板上现有的数中任选一个数，当 $1 \leqslant i \leqslant 11$ 时，加上 $a_i$ 当 $12 \leqslant i \leqslant 22$ 时，减去 $a_{i-11}$．如果最终结果为 $1,2, \cdots, 2007$ 的偶排列 $^ ① $ 。则称这个操作组为优的；如果最终结果为 $1,2,\cdots,2007$ 的奇排列，则称这个操作组为次优的．问优的操作组与次优的操作组哪种多，多多少？ 2022-04-17 19:24:53
19749 5d131ca2210b280220ed4e71 高中 解答题 自招竞赛 给定整数 $n(n \geqslant 3)$．证明：集合 $X=\left\{1,2, \cdots, n^{2}-n\right\}$ 能写成两个不相交的非空子集的并，使得每一个子集均不包含 $n$ 个元素 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}, a_{1}<a_{2}<\cdots<a_{n}$，满足 $a_{k} \leqslant \dfrac{a_{k-1}+a_{k+1}}{2}, k=2,3, \cdots, n-1$ 2022-04-17 19:21:53
19747 5d132df5210b28021fc778d3 高中 解答题 自招竞赛 求具有如下性质的最小正整数 $n$：将正 $n$ 边形的每一个顶点任意染上红、黄、蓝三种颜色之一，那么，这 $n$ 个顶点中一 定存在四个同色点，它们是一个等腰梯形的顶点（两条边平行，另两条边不平行且相等的凸四边形称为等腰梯形）． 2022-04-17 19:20:53
19736 5d1428fd210b280220ed4fae 高中 解答题 自招竞赛 设 $m, n$ 是给定的整数，$4<m<n, A_{1} A_{2} \cdots A_{2 n+1}$ 是一个正 $2n+1$ 边形，$P=\left\{A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{2 n+1}\right\}$．求顶点属于 $P$ 且恰有两个内角是锐角的凸 $m$ 边形的个数． 2022-04-17 19:15:53
19734 5d142eac210b28021fc77994 高中 解答题 自招竞赛 凸 $n$ 边形 $P$ 中的每条边和每条对角线都被染为 $n$ 种颜色中的一种颜色．问：对怎样的 $ n$，存在一种染色方式，使得对于这 $n$ 种颜色中的任何 $3$ 种不同颜色，都能找到一个三角形，其顶点为多边形 $P$ 的顶点，且它的 $3$ 条边分别被染为这 $3$ 种颜色？ 2022-04-17 19:14:53
19729 5d10a96b210b28021fc77768 高中 解答题 自招竞赛 在面积为 $1$ 的矩形 $ABCD$ 中（包括边界）有 $5$ 个点，其中任意三点不共线求以这 $5$ 个点为顶点的所有三角形中，面积不大于 $\dfrac{1}{4}$ 的三角形的个数的最小值 $4$． 2022-04-17 19:11:53
19728 5d0b120f210b28021fc774a3 高中 解答题 自招竞赛 在正 $n$ 边形的每个顶点上各停有 $1$ 只喜鹊，偶受惊吓使得众喜鹊都飞去，一段时间后，它们又都回到这些点上，仍是每个顶点上 $1$ 只，但未必都回到原来的顶点．求所有正整数 $n
$，使得一定存在 $3$ 只喜鹊，以它们前后所在的顶点分别形成的三角形或同为锐角三角形，或同为直角三角形，或同为钝角三角形．		 2022-04-17 19:11:53
19725 5d01c992210b28021fc77159 高中 解答题 自招竞赛 设实数 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{1997}$ 满足如下两个条件：
（1）$-\frac{1}{\sqrt{3}} \leqslant x_{i} \leqslant \sqrt{3}(i=1,2, \cdots, 1997)$；
（2）$x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{1997} =-318 \sqrt{3}$．
试求：$x_{1}^{12}+x_{2}^{12}+\cdots+x_{1997}^{12}$ 的最大值，并说明理由．		 2022-04-17 19:10:53
19719 5cf89e0d210b280220ed3f5d 高中 解答题 自招竞赛 在有八个顶点的简单图中，没有四边形的图的边数的最大值是多少？（简单图是指任一点与自己没有边相连，而且任 何两个点之间如果有边相连，就只有一条边相连的图） 2022-04-17 19:08:53
19713 5cf0bffc210b280220ed3b6b 高中 解答题 自招竞赛 在半径为 $1$ 的圆周上，任意给定两个点集 $A,B$，它们都由有限段互不相交的弧组成，其中 $B$ 的每段弧的长度都等于 $\dfrac{\pi}{m},m$ 是个自然数，用 $A^j$ 表示将集合 $A$ 沿反时针方向在圆周上转动 $\dfrac{j\pi}{m}(j=1,2,3,\cdots)$ 弧度所得的集合，求证：存在自然数 $k$，使得 $l\left(A^{k} \cap B\right) \geqslant \dfrac{1}{2 \pi} l(A) l(B)$ 这里 $l(X)$ 表示组成点集 $X$ 的互不相交的弧段的长度之和． 2022-04-17 19:04:53
19711 5cf10bc9210b280220ed3c54 高中 解答题 自招竞赛 空间中有 $1989$ 个点，其中任何三点不共线，把它们分成点数各不相同的 $30$ 组，在任何三个不同的组中各取一点为顶点作三角形．问：要使这种三角形的总数最大，各组的点数应为多少？ 2022-04-17 19:03:53
19706 5d15b31b210b28021fc77a43 高中 解答题 自招竞赛 我们对放置于点 $A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{n}(n \geqslant 3)$ 及点 $O$ 处的卡片进行操作．所谓一次操作是指进行下面的一种操作：
（1）若某个点 $A_i$ 处的卡片数目不少于 $3$，则可从中取出 $3$ 张，在点 $A_{i-1}, A_{i+1}$ 及 $O$ 处各放一张 $\left(A_{0}=A_{n}, A_{n+1}=A_{1}\right)$；
（2）若点 $O$ 处的卡片数目不少于 $n$，则可以从中取出 $n$ 张，在点 $A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{n}$ 处各放一张．
证明：只要放置于这 $n+1$ 个点处的卡片总数不少于 $n^2 +3n+1$，则总能通过若干次操作，使每个点处卡片数目均不小于 $n+1$．		 2022-04-17 19:59:52
19692 5d1971da210b28021fc77af7 高中 解答题 自招竞赛 将 $m\times n$（$m,n$ 均为正整数）的方格表中每一个小方格染成白色或黑色，使得每个 $2\times 2$ 的小正方形中四个方格至多只有两个黑格．问：黑格最多有多少个？ 2022-04-17 19:50:52
19684 5d15ef04210b28021fc77abe 高中 解答题 自招竞赛 设 $n$ 是给定的正整数，集合 $S=\{1,2,\cdots,n\}$．对非空的有限实数集合 $A$ 和 $B$，求 $|A \otimes S|+|B \otimes S|+|C \otimes S|$ 的最小值，其中，$C=A+B=\{a+b | a \in A, b \in B\}$，$X(\otimes) Y=\{x | x$ 恰好属于 $X$ 和 $Y$ 中的一个 $\}$，$|X|$ 表示有限集合 $X$ 的元素个数． 2022-04-17 19:46:52
19671 5d19a934210b280220ed52b5 高中 解答题 自招竞赛 给定质数 $p$．设 $A= (a_{ij})$ 是一个 $p \times p$ 的矩阵，满足 $\left\{a_{i j} | 1 \leqslant i, j \leqslant p\right\}=\left\{1,2, \cdots, p^{2}\right\}$．
允许对一个矩阵作如下操作：选取一行或一列，将该行或该列的每个数同时加上 $1$ 或同时减去 $1$．若可以通过有限多次上述操作将 $A$ 中元素全变为 $0$，则称 $A$ 是一个“好矩阵＂．求好矩阵 $A$ 的个数．		 2022-04-17 19:39:52
19667 5d19d319210b28021fc77c06 高中 解答题 自招竞赛 求满足下面条件的最小正整数 $k$：对集合 $S=\{1,2, \cdots, 2,012\}$ 的任意一个 $k$ 元子集 $A$，都存在 $S$ 中的三个互不相同的元素 $a、b、c$，使得 $a+b、b+c、c+a$ 均在集合 $A$ 中． 2022-04-17 19:36:52
19665 5d19e8fa210b28021fc77c31 高中 解答题 自招竞赛 确定所有由整数构成的非空集合 $S$，满足：若 $m,n\in S$（$m,n$ 可相同），则 $3m-2n\in S$． 2022-04-17 19:35:52
19663 5d1abdfc210b280220ed53db 高中 解答题 自招竞赛 给定整数 $n\geqslant 2$．设 $n$ 个非空有限集 $A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{n}$ 满足：$\left|A_{i} \Delta A_{j}\right|=|i-j|(i, j \in\{1,2, \cdots, n\})$，规定 $X \Delta Y=\{a | a \in X, a \notin Y\} \cup\{a | a \in Y, a \notin X\}$．
求 $\left|A_{1}\right|+\left|A_{2}\right|+\cdots+\left|A_{n}\right|$ 的最小值．		 2022-04-17 19:34:52
19651 5d1b1ff3210b280220ed54d7 高中 解答题 自招竞赛 对于非空数集 $S、T$，定义 $S+T=\left\{s+t | s \in S, t \in T\right\},2 S=\left\{\left.2{s}\right|{s} \in S\right\}$
设 $n $ 为正整数，$A,B$ 均为 $\{1,2, \cdots, n \}$ 的非空子集证明：存在 $A+B$ 的子集 $D$，使得
$D+D \subseteq 2(A+B)$ 且 $|D| \geqslant \dfrac{|A||B|}{2 n}$
其中，$|X|$ 表示有限集 $X$ 的元素个数．		 2022-04-17 19:29:52
19645 5d1c559a210b280220ed55b8 高中 解答题 自招竞赛 某次会议共有 $30$ 人参加，其中每个人在其余人中至多有五位熟人；任意五人中，至少有两人不是熟人．求最大的正整数 $k$，使得在满足上述条件的 $30$ 人中总存在 $k$ 人，两两不是熟人． 2022-04-17 19:26:52
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