求具有如下性质的最小正整数 $n$：将正 $n$ 边形的每一个顶点任意染上红、黄、蓝三种颜色之一，那么，这 $n$ 个顶点中一 定存在四个同色点，它们是一个等腰梯形的顶点（两条边平行，另两条边不平行且相等的凸四边形称为等腰梯形）．
【难度】
【出处】
2008第23届CMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
所求 $n$ 的最小值为 $17$．
首先证明：$n = 17$ 时，结论成立．
用反证法
假设存在一种将正 $17$ 边形的顶点三染色的方法，使得不存在 $4$ 个同色顶点是某个等腰梯形的顶点．
由于 $\left[\frac{17}{3}\right]+1=6$，故必存在某 $6$ 个顶点染同一种颜色，不妨设为黄色．将这 $6$ 个点两两连线，可以得到 $C_{6}^{2}=15$ 条线段．由于这些线段的长度只有 $\left[\frac{17}{2}\right]=8$ 种可能，于是，必出现如下的两种情形之一．
（i）有某三条线段长度相同
注意到 $3\not| 17$，不可能出现这三条线段两两有公共顶点的情况．所以，存在两条线段，顶点互不相同．这两条线段的 $4$ 个顶点即满足题目要求，矛盾．
（ii）有 $7$ 对长度相等的线段．
由假设，每对长度相等的线段必有公共的黄色顶点，否则，能找到满足题目要求的 $4$ 个黄色顶点．再根据抽屉原理，必有两对线段的公共顶点是同一个黄色点．这四条线段的另 $4$ 个顶点必然是某个等腰梯形的顶点，矛盾．
所以，$n = 17$ 时，结论成立．
再对 $n\leqslant 16$ 构造出不满足题目要求的染色方法．用 $A_1,A_{2}, \cdots, A_{n}$ 表示正n边形的顶点（按顺时针方向），$M_{1}, M_{2}, M_{3}$ 分别表示三种颜色的顶点集．
当 $n = 16$ 时，令
$\begin{aligned} M_{1} &=\left\{A_{5}, A_{8}, A_{13}, A_{14}, A_{16}\right\} \\ M_{2} &=\left\{A_{3}, A_{6}, A_{7}, A_{11}, A_{15}\right\} \\ M_{3} &=\left\{A_{1}, A_{2}, A_{4}, A_{9}, A_{10}, A_{12}\right\}\end{aligned}$
对于 $M_1 ,A_{14}$ 到另 $4$ 个顶点的距离互不相同，而另 $4$ 个点刚好是一个矩形的顶点，类似于 $M_1$，可验证 $M_2$ 中不存在 $4$ 个顶点是某个等腰梯形的顶点．对于 $M_3$，其中 $6$ 个顶点刚好是 $3$ 条直径的顶点，所以，任意 $4$ 个顶点要么是某个矩形的 $4$ 个顶点，要么是某个不等边四边形的 $4$ 个顶点．
当 $n = 15$ 时，令
$\begin{aligned} M_{1} &=| A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{5}, A_{8} \} \\ M_{2} &=\left\{A_{6}, A_{9}, A_{13}, A_{14}, A_{15}\right\} \\ M_{3} &=\left\{A_{4}, A_{7}, A_{10}, A_{11}, A_{12}\right\} \end{aligned}$
每个 $ M_i$ 中均无 $4$ 点是等腰梯形的顶点．
当 $n= 14$ 时，令
$M_{1}=\left\{A_{1}, A_{3}, A_{8}, A_{10}, A_{14}\right\}$
$M_{2}=\{A_{4}, A_{5}, A_{7}, A_{11}, A_{12} \}$
$M_{3}=\left\{A_{2}, A_{6}, A_{9}, A_{13}\right\}$
每个 $M_i$ 中均无 $4$ 点是等腰梯形的顶点．
当 $n = 13$ 时，令
$\begin{aligned} M_{1} &=\left\{A_{5}, A_{6}, A_{7}, A_{10}\right\} \\ M_{2} &=\left\{A_{1}, A_{8}, A_{11}, A_{12}\right\} \\ M_{3} &=\left\{A_{2}, A_{3}, A_{4}, A_{9}, A_{13}\right\} \end{aligned}$
每个 $ M_i$ 中均无 $4$ 点是等腰梯形的顶点．
在上述情形中去掉顶点 $A_{13}$，染色方式不变，即得到 $n =12$ 的染色方法；然后，再去掉顶点 $A_{12}$，即得到 $n = ll$ 的染色方法；继续去掉顶点 $A_{11}$，得到 $n = 10$ 的染色方法．
当 $n\leqslant 9$ 时，可以使每种颜色的顶点个数小于 $4$，从而，无 $4$ 个同色顶点是某个等腰梯形的顶点．
上面构造的例子表明 $n\leqslant 16 $ 不具备题目要求的性质．综上所述，所求的 $ n$ 的最小值为 $17$．
首先证明：$n = 17$ 时，结论成立．
用反证法
假设存在一种将正 $17$ 边形的顶点三染色的方法，使得不存在 $4$ 个同色顶点是某个等腰梯形的顶点．
由于 $\left[\frac{17}{3}\right]+1=6$，故必存在某 $6$ 个顶点染同一种颜色，不妨设为黄色．将这 $6$ 个点两两连线，可以得到 $C_{6}^{2}=15$ 条线段．由于这些线段的长度只有 $\left[\frac{17}{2}\right]=8$ 种可能，于是，必出现如下的两种情形之一．
（i）有某三条线段长度相同
注意到 $3\not| 17$，不可能出现这三条线段两两有公共顶点的情况．所以，存在两条线段，顶点互不相同．这两条线段的 $4$ 个顶点即满足题目要求，矛盾．
（ii）有 $7$ 对长度相等的线段．
由假设，每对长度相等的线段必有公共的黄色顶点，否则，能找到满足题目要求的 $4$ 个黄色顶点．再根据抽屉原理，必有两对线段的公共顶点是同一个黄色点．这四条线段的另 $4$ 个顶点必然是某个等腰梯形的顶点，矛盾．
所以，$n = 17$ 时，结论成立．
再对 $n\leqslant 16$ 构造出不满足题目要求的染色方法．用 $A_1,A_{2}, \cdots, A_{n}$ 表示正n边形的顶点（按顺时针方向），$M_{1}, M_{2}, M_{3}$ 分别表示三种颜色的顶点集．
当 $n = 16$ 时，令
$\begin{aligned} M_{1} &=\left\{A_{5}, A_{8}, A_{13}, A_{14}, A_{16}\right\} \\ M_{2} &=\left\{A_{3}, A_{6}, A_{7}, A_{11}, A_{15}\right\} \\ M_{3} &=\left\{A_{1}, A_{2}, A_{4}, A_{9}, A_{10}, A_{12}\right\}\end{aligned}$
对于 $M_1 ,A_{14}$ 到另 $4$ 个顶点的距离互不相同，而另 $4$ 个点刚好是一个矩形的顶点，类似于 $M_1$，可验证 $M_2$ 中不存在 $4$ 个顶点是某个等腰梯形的顶点．对于 $M_3$，其中 $6$ 个顶点刚好是 $3$ 条直径的顶点，所以，任意 $4$ 个顶点要么是某个矩形的 $4$ 个顶点，要么是某个不等边四边形的 $4$ 个顶点．
当 $n = 15$ 时，令
$\begin{aligned} M_{1} &=| A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{5}, A_{8} \} \\ M_{2} &=\left\{A_{6}, A_{9}, A_{13}, A_{14}, A_{15}\right\} \\ M_{3} &=\left\{A_{4}, A_{7}, A_{10}, A_{11}, A_{12}\right\} \end{aligned}$
每个 $ M_i$ 中均无 $4$ 点是等腰梯形的顶点．
当 $n= 14$ 时，令
$M_{1}=\left\{A_{1}, A_{3}, A_{8}, A_{10}, A_{14}\right\}$
$M_{2}=\{A_{4}, A_{5}, A_{7}, A_{11}, A_{12} \}$
$M_{3}=\left\{A_{2}, A_{6}, A_{9}, A_{13}\right\}$
每个 $M_i$ 中均无 $4$ 点是等腰梯形的顶点．
当 $n = 13$ 时，令
$\begin{aligned} M_{1} &=\left\{A_{5}, A_{6}, A_{7}, A_{10}\right\} \\ M_{2} &=\left\{A_{1}, A_{8}, A_{11}, A_{12}\right\} \\ M_{3} &=\left\{A_{2}, A_{3}, A_{4}, A_{9}, A_{13}\right\} \end{aligned}$
每个 $ M_i$ 中均无 $4$ 点是等腰梯形的顶点．
在上述情形中去掉顶点 $A_{13}$，染色方式不变，即得到 $n =12$ 的染色方法；然后，再去掉顶点 $A_{12}$，即得到 $n = ll$ 的染色方法；继续去掉顶点 $A_{11}$，得到 $n = 10$ 的染色方法．
当 $n\leqslant 9$ 时，可以使每种颜色的顶点个数小于 $4$，从而，无 $4$ 个同色顶点是某个等腰梯形的顶点．
上面构造的例子表明 $n\leqslant 16 $ 不具备题目要求的性质．综上所述，所求的 $ n$ 的最小值为 $17$．
答案
解析
备注
