重置
序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
18820 5c8214a8210b284290fc29a4 高中 解答题 自招竞赛 设 $\mathbf{R}$ 是全体实数的集合，求所有的函数 $f:\mathbf{R}\rightarrow\mathbf{R}$，满足对任意实数 $x,y$，都有 $f(x+f(x+y))+f(xy)=x+f(x+y)+yf(x)$．（阿尔巴尼亚） 2022-04-17 19:57:44
18819 5c8214c6210b284290fc29aa 高中 解答题 自招竞赛 整数序列 $a_{1},a_{2},\ldots$ 满足下列条件：
（i）对每个整数 $j\geqslant 1$，有 $1\leqslant a_{j}\leqslant 2015$；
（ii）对任意整数 $1\leqslant k<l$，有 $k+a_{k}\neq l+a_{l}$．
证明：存在两个正整数 $b$ 和 $N$，使得 $\displaystyle \left|\sum\limits_{j=m+1}^{n}(a_{j}-b)\right|\leqslant 1007^{2}$ 对所有满足 $n>m\geqslant N$ 的整数 $m$ 和 $n$ 均成立．（澳大利亚）		 2022-04-17 19:56:44
18818 5c8237c9210b28428f14d351 高中 解答题 自招竞赛 设 $a_{0}<a_{1}<a_{2}<\ldots$ 是一个正整数的无穷序列．证明存在唯一的整数 $n\geqslant 1$ 使得 $a_{n}<\dfrac{a_{0}+a_{1}+\ldots+a_{n}}{n}\leqslant a_{n+1}$ ①（奥地利） 2022-04-17 19:55:44
18807 5c85c074210b284290fc29f0 高中 解答题 自招竞赛 记 $\mathbb{Q}^{+}$ 是所有正有理数组成的集合．设函数 $f:\mathbb{Q}^{+}\rightarrow\mathbb{R}$ 满足如下三个条件：
（i）对所有的 $x,y\in\mathbb{Q}^{+}$，都有 $f(x)f(y)\geqslant f(xy)$；
（ii）对所有的 $x,y\in\mathbb{Q}^{+}$，都有 $f(x+y)\geqslant f(x)+f(y)$；
（iii）存在有理数 $a>1$，使得 $f(a)=a$．
证明：对所有的 $x\in\mathbb{Q}_{>0}$，都有 $f(x)=x$．		 2022-04-17 19:47:44
18804 5c85c432210b284290fc2a07 高中 解答题 自招竞赛 设整数 $n\geqslant3$，正实数 ${a}_{1},{a}_{2},\cdots,{a}_{n}$ 满足 ${a}_{2}{a}_{3}\cdots{a}_{n}=1$．证明：${{(1+{{a}_{2}})}^{2}}{{(1+{{a}_{3}})}^{3}}\cdots {{(1+{{a}_{n}})}^{n}}>{{n}^{n}}$．（澳大利亚） 2022-04-17 19:46:44
18802 5c85c44b210b28428f14d390 高中 解答题 自招竞赛 求所有的函数 $f:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$，使得对所有满足 $a+b+c=0$ 的整数 $a,b,c,$ 都有 $f{{(a)}^{2}}+f{{(b)}^{2}}+f{{(c)}^{2}}=2f(a)f(b)+2f(b)f(c)+2f(c)f(a)$．（这里 $\mathbb{Z}$ 表示整数集）（南非） 2022-04-17 19:44:44
18799 5c85c467210b28428f14d39c 高中 解答题 自招竞赛 求所有的正整数 $n$，使得存在非负整数 ${a}_{1},{a}_{2},\cdots,{a}_{n}$，满足
$\dfrac{1}{{{2}^{{{a}_{1}}}}}+\dfrac{1}{{{2}^{{{a}_{2}}}}}+\cdots +\dfrac{1}{{{2}^{{{a}_{n}}}}}=\dfrac{1}{{{3}^{{{a}_{1}}}}}+\dfrac{2}{{{3}^{{{a}_{2}}}}}+\cdots \dfrac{n}{{{3}^{{{a}_{n}}}}}=1$．（塞尔维亚）		 2022-04-17 19:43:44
18785 5c85c8e2210b284290fc2a1c 高中 解答题 自招竞赛 设 $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ 是一个定义在实数集上的实值函数，满足对所有实数 $x,y$，都有 $f(x+y)\leqslant yf(x)+f(f(x))$
证明：对所有实数 $x\leqslant 0$，有 $f(x)=0$．（白俄罗斯）		 2022-04-17 19:35:44
18770 5c85cda8210b284290fc2a2c 高中 解答题 自招竞赛 求所有的函数 $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$，使得等式
$f([x]y)=f(x)[f(y)]$ ①
对所有 $x,y\in\mathbb{R}$ 成立．（这里，$[z]$ 表示不超过实数 $z$ 的最大整数．）（法国）		 2022-04-17 19:28:44
18759 5c85cdd2210b284290fc2a3a 高中 解答题 自招竞赛 设 $a_{1},a_{2},a_{3},\ldots$ 是一个正实数数列．假设存在某个固定的正整数 $s$，使得对所有的 $n>s$，有 $a_{n}=\max\{a_{k}+a_{n-k}~|~1\leqslant k\leqslant n-1\}$．
证明：存在正整数 $l$ 和 $N$，$l\leqslant s$，使得对所有的 $n\geqslant N$，都有 $a_{n}=a_{l}+a_{n-l}$．（伊朗）		 2022-04-17 19:23:44
18740 5c85d339210b284290fc2a55 高中 解答题 自招竞赛 设 $s_{1},s_{2},s_{3},\ldots$ 是一个严格递增的正整数数列，使得它的两个子数列 $s_{s_{1}},s_{s_{2}},s_{s_{3}},\ldots~~~\text{和}~~~s_{s_{1}+1},s_{s_{2}+1},s_{s_{3}+1},\ldots$ 都是等差数列．证明：数列 $s_{1},s_{2},s_{3},\ldots$ 本身也是一个等差数列．（美国） 2022-04-17 19:12:44
18728 5c85d348210b28428f14d3eb 高中 解答题 自招竞赛 求所有从正整数集到正整数集上的满足如下条件的函数 $f$：对所有正整数 $a$ 和 $b$，都存在一个以 $a,f(b)\text{和 }f(b+f(a)-1)$ 为三边长的非退化三角形．（称一个三角形为非退化三角形是指它的三个顶点不共线．）（法国） 2022-04-17 19:05:44
18724 5c85d6df210b28428f14d404 高中 解答题 自招竞赛 （1）设实数 $x,y,z$ 都不等于 $1$，满足 $xyz＝1$，求证：$\dfrac{x^{2}}{(x-1)^{2}}+\dfrac{y^{2}}{(y-1)^{2}}+\dfrac{z^{2}}{(z-1)^{2}}\geqslant 1$
（2）证明：存在无穷多组三元有理数组 $(x,y,z)$，$x,y,z$ 都不等于 $1$，
且 $xyz＝1$，使得上述不等式等号成立．（奥地利）		 2022-04-17 19:02:44
18721 5c85d6ea210b28428f14d40f 高中 解答题 自招竞赛 求所有的函数 $f:(0,+\infty)\rightarrow(0,+\infty)$，满足对所有的正实数 $w,x,y,z$，$wx=yz$，都有 $\dfrac{(f(w))^{2}+(f(x))^{2}}{f(y^{2})+f(z^{2})}=\dfrac{w^{2}+x^{2}}{y^{2}+z^{2}}$（韩国） 2022-04-17 19:01:44
18716 5c85dad2210b28428f14d427 高中 解答题 自招竞赛 给定实数 $a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}$．对每个 $i~(1\leqslant i\leqslant n)$，定义：
$d_{i}=\max\{a_{j}:~1\leqslant j\leqslant i\}-\min\{a_{j}:~i\leqslant j\leqslant n\}$
且令 $d=\max\{d_{i}:~1\leqslant i\leqslant n\}$
（a）证明：对任意实数 $x_{1}\leqslant x_{2}\leqslant\ldots\leqslant x_{n}$，有
$\max\{|x_{i}-a_{i}|:~1\leqslant i\leqslant n\}\geqslant\frac{d}{2}$（$*$）
（b）证明：存在实数 $x_{1}\leqslant x_{2}\leqslant\ldots\leqslant x_{n}$ 使得（$*$）中的等号成立．（新西兰）		 2022-04-17 19:58:43
18708 5c85de89210b28428f14d452 高中 解答题 自招竞赛 求最小的实数 $M$，使得对所有的实数 $a,b$ 和 $c$，有 $|ab(a^{2}-b^{2})+bc(b^{2}-c^{2})+ca(c^{2}-a^{2})|\leqslant M(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}$．（爱尔兰） 2022-04-17 19:54:43
18702 5c85ed72210b284290fc2a9e 高中 解答题 自招竞赛 正实数 $x、y、z$ 满足 $xyz\geqslant 1$，证明：$\dfrac{{{x}^{5}}-{{x}^{2}}}{{{x}^{5}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{5}}-{{y}^{2}}}{{{x}^{2}}+{{y}^{5}}+{{z}^{2}}}+\dfrac{{{z}^{5}}-{{z}^{2}}}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{5}}}\geqslant 0$．（韩国） 2022-04-17 19:50:43
18694 5c85f2bd210b284290fc2ab8 高中 解答题 自招竞赛 试求出所有的实系数多项式 $P(x)$，使得对于所有满足 $ab+bc+ca=0$ 的所有实数 $a、b、c$，都有 $P(a-b)+P(b-c)+P(c-a)=2P(a+b+c)$．（韩国） 2022-04-17 19:46:43
18668 5c85f2d5210b284290fc2abe 高中 解答题 自招竞赛 设 $n\geqslant 3$ 的整数，设 ${t}_{1},{t}_{2},\cdots,{t}_{n}$ 为正实数，且满足
${{n}^{2}}+1>({{t}_{1}}+{{t}_{2}}+\ldots +{{t}_{n}})\left( \dfrac{1}{{{t}_{1}}}+\dfrac{1}{{{t}_{2}}}+\ldots +\dfrac{1}{{{t}_{n}}} \right)$
证明：对满足 $1\leqslant i<j<k\leqslant n$ 的所有整数 $i、j、k$，正实数 ${t}_{i}、{t}_{j}、{t}_{k}$ 总能构成三角形三边长．（韩国）		 2022-04-17 19:30:43
18547 5c85f661210b28428f14d4ae 高中 解答题 自招竞赛 设 $n$ 为正整数，实数 ${x}_{1},{x}_{2},\cdots,{x}_{n}$ 满足 ${x}_{1}\leqslant{x}_{2}\leqslant\cdots\leqslant{x}_{n}$．
（1）求证：$\displaystyle {{\left( \sum\limits_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}{\left| {{x}_{i}}-{{x}_{j}} \right|} \right)}^{2}}\leqslant \frac{2\left( {{n}^{2}}-1 \right)}{3}\sum\limits_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}{{{\left( {{x}_{i}}-{{x}_{j}} \right)}^{2}}}$．
（2）求证等号成立的充要条件是 ${x}_{1},{x}_{2},\cdots,{x}_{n}$ 成等差数列．（爱尔兰）		 2022-04-17 19:24:42
0.244039s