设 $n$ 为正整数，实数 ${x}_{1},{x}_{2},\cdots,{x}_{n}$ 满足 ${x}_{1}\leqslant{x}_{2}\leqslant\cdots\leqslant{x}_{n}$．
（1）求证：$\displaystyle {{\left( \sum\limits_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}{\left| {{x}_{i}}-{{x}_{j}} \right|} \right)}^{2}}\leqslant \frac{2\left( {{n}^{2}}-1 \right)}{3}\sum\limits_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}{{{\left( {{x}_{i}}-{{x}_{j}} \right)}^{2}}}$．
（2）求证等号成立的充要条件是 ${x}_{1},{x}_{2},\cdots,{x}_{n}$ 成等差数列．（爱尔兰）
（1）求证：$\displaystyle {{\left( \sum\limits_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}{\left| {{x}_{i}}-{{x}_{j}} \right|} \right)}^{2}}\leqslant \frac{2\left( {{n}^{2}}-1 \right)}{3}\sum\limits_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}{{{\left( {{x}_{i}}-{{x}_{j}} \right)}^{2}}}$．
（2）求证等号成立的充要条件是 ${x}_{1},{x}_{2},\cdots,{x}_{n}$ 成等差数列．（爱尔兰）
【难度】
【出处】
2003年第44届IMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
（1）由于将所有 $x_i$ 减去一个相同的数，不等式两边不变，因此，我们不妨设 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^nx_i=0$．
由条件，我们有
$\displaystyle \sum\limits_{i=1}^n\sum_{j=1}^n|x_i-x_j|=2\sum_{i<j}(x_j-x_i)=2\sum_{i=1}^n(2i-n-1)x_i$
由柯西不等式，得
$\displaystyle \left(\sum\limits_{i=1}^n\sum_{j=1}^n|x_i-x_j|\right)^2\leqslant 4\sum_{i=1}^n(2i-n-1)^2\sum_{i=1}^nx_i^2$
另一方面，$\displaystyle \sum\limits_{i=1}^n\sum_{j=1}^n(x_i-x_j)^2=n\sum_{i=1}^nx_i^2-\sum_{i=1}^nx_i\sum_{j=1}^nx_j+n\sum_{j=1}^nx_j^2=2n\sum_{i=1}^nx_i^2$
所以
$\displaystyle \left(\sum\limits_{i=1}^n\sum_{j=1}^n|x_i-x_j|\right)^2\leqslant \dfrac{2(n^2-1)}{3}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n(x_i-x_j)^2$
（2）由柯西不等式成立的条件，可知若等号成立，则存在实数 $k$，使得 $x_i=k(2i-n-1)$，这表明 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 成等差数列．
反过来，若 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 是一个公差为 $d$ 的等差数列，则 $x_i=\dfrac{d}{2}(2i-n-1)+\dfrac{x_1+x_n}{2}$，将每个 $x_i$ 减去 $\dfrac{x_1+x_n}{2}$，就有 $x_i=\dfrac{d}{2}(2i-n-1)$，且 $\sum_{i=1}^nx_i=0$，此时不等式取等号．
由条件，我们有
$\displaystyle \sum\limits_{i=1}^n\sum_{j=1}^n|x_i-x_j|=2\sum_{i<j}(x_j-x_i)=2\sum_{i=1}^n(2i-n-1)x_i$
由柯西不等式，得
$\displaystyle \left(\sum\limits_{i=1}^n\sum_{j=1}^n|x_i-x_j|\right)^2\leqslant 4\sum_{i=1}^n(2i-n-1)^2\sum_{i=1}^nx_i^2$
另一方面，$\displaystyle \sum\limits_{i=1}^n\sum_{j=1}^n(x_i-x_j)^2=n\sum_{i=1}^nx_i^2-\sum_{i=1}^nx_i\sum_{j=1}^nx_j+n\sum_{j=1}^nx_j^2=2n\sum_{i=1}^nx_i^2$
所以
$\displaystyle \left(\sum\limits_{i=1}^n\sum_{j=1}^n|x_i-x_j|\right)^2\leqslant \dfrac{2(n^2-1)}{3}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n(x_i-x_j)^2$
（2）由柯西不等式成立的条件，可知若等号成立，则存在实数 $k$，使得 $x_i=k(2i-n-1)$，这表明 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 成等差数列．
反过来，若 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 是一个公差为 $d$ 的等差数列，则 $x_i=\dfrac{d}{2}(2i-n-1)+\dfrac{x_1+x_n}{2}$，将每个 $x_i$ 减去 $\dfrac{x_1+x_n}{2}$，就有 $x_i=\dfrac{d}{2}(2i-n-1)$，且 $\sum_{i=1}^nx_i=0$，此时不等式取等号．
答案
解析
备注
