求最小的实数 $M$，使得对所有的实数 $a,b$ 和 $c$，有 $|ab(a^{2}-b^{2})+bc(b^{2}-c^{2})+ca(c^{2}-a^{2})|\leqslant M(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}$．（爱尔兰）
【难度】
【出处】
2006年第47届IMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
首先考虑 $P(t)=tb(t^2-b^2)+bc(b^2-c^2)+ct(c^2-t^2)$
易知 $P(b)=P(c)=P(-c-b)=0$
所以，我们有
$|ab(a^2-b^2)+bc(b^2-c^2)+ca(c^2-a^2)|=|P(a)|=|(b-c)(a-b)(a-c)(a+b+c)|$
原不等式等价于 $|(b-c)(a-b)(a-c)(a+b+c)|\leqslant M(a^2+b^2+c^2)^2$．
由于对称性，不妨假设 $a\leqslant b\leqslant c$，则我们有
$|(a-b)(b-c)|=(b-a)(c-b)\leqslant \left(\dfrac{(b-a)+(c-b)}{2}\right)^2=\dfrac{(c-a)^2}{4}$
且等号成立的充分必要条件为 $b-a=c-b$，即 $2b=a+c$．又
$\left(\dfrac{(c-b)+(b-a)}{2}\right)^2\leqslant \dfrac{(c-b)^2+(b-a)^2}{2}$
或等价于 $3(c-a)^2\leqslant 2[(b-a)^2+(c-b)^2+(c-a)^2]$
且等号成立充分必要条件是 $2b=a+c$．从而，
$\begin{aligned}
&|(b-c)(a-b)(a-c)(a+b+c)|\leqslant \frac{1}{4}|(c-a)^3(a+b+c)|\\
&=\frac{1}{4}\sqrt{(c-a)^6(a+b+c)^2}\\
&\leqslant\frac{1}{4}\sqrt{\left(\frac{2((b-a)^2+(c-b)^2+(c-a)^2)}{3}\right)^3(a+b+c)^2}\\
&\leqslant\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\sqrt[4]{\left(\frac{(b-a)^2+(c-b)^2+(c-a)^2}{3}\right)^3}(a+b+c)^2\right)^2
\end{aligned}$
由加权 $AM-GM$ 不等式，有
$\begin{aligned}
&|(b-c)(a-b)(a-c)(a+b+c)|\\
&\leqslant \frac{\sqrt{2}}{2}\left(\frac{(b-a)^2+(c-b)^2+(c-a)^2+(a+b+c)^2}{4}\right)^2\\
&=\frac{9\sqrt{2}}{32}(a^2+b^2+c^2)^2
\end{aligned}$
于是 $M=\dfrac{9\sqrt{2}}{32}$，且等号成立的充分必要条件 $2b=a+c$，以及
$\dfrac{(b-a)^2+(c-b)^2+(c-a)^2}{3}=(a+b+c)^2$．
解得 $2b=a+c,(c-a)^2=18b^2$．
取 $b=1$，得到 $a=1-\dfrac{3}{2}\sqrt{2}$ 和 $c=1+\dfrac{3}{2}\sqrt{2}$，从而，当 $\left(1-\dfrac{3}{2}\sqrt{2},1,1+\dfrac{3}{2}\sqrt{2}\right)$ 时，等号成立，故 $M=\dfrac{9}{32}\sqrt{2}$．
易知 $P(b)=P(c)=P(-c-b)=0$
所以，我们有
$|ab(a^2-b^2)+bc(b^2-c^2)+ca(c^2-a^2)|=|P(a)|=|(b-c)(a-b)(a-c)(a+b+c)|$
原不等式等价于 $|(b-c)(a-b)(a-c)(a+b+c)|\leqslant M(a^2+b^2+c^2)^2$．
由于对称性，不妨假设 $a\leqslant b\leqslant c$，则我们有
$|(a-b)(b-c)|=(b-a)(c-b)\leqslant \left(\dfrac{(b-a)+(c-b)}{2}\right)^2=\dfrac{(c-a)^2}{4}$
且等号成立的充分必要条件为 $b-a=c-b$，即 $2b=a+c$．又
$\left(\dfrac{(c-b)+(b-a)}{2}\right)^2\leqslant \dfrac{(c-b)^2+(b-a)^2}{2}$
或等价于 $3(c-a)^2\leqslant 2[(b-a)^2+(c-b)^2+(c-a)^2]$
且等号成立充分必要条件是 $2b=a+c$．从而，
$\begin{aligned}
&|(b-c)(a-b)(a-c)(a+b+c)|\leqslant \frac{1}{4}|(c-a)^3(a+b+c)|\\
&=\frac{1}{4}\sqrt{(c-a)^6(a+b+c)^2}\\
&\leqslant\frac{1}{4}\sqrt{\left(\frac{2((b-a)^2+(c-b)^2+(c-a)^2)}{3}\right)^3(a+b+c)^2}\\
&\leqslant\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\sqrt[4]{\left(\frac{(b-a)^2+(c-b)^2+(c-a)^2}{3}\right)^3}(a+b+c)^2\right)^2
\end{aligned}$
由加权 $AM-GM$ 不等式，有
$\begin{aligned}
&|(b-c)(a-b)(a-c)(a+b+c)|\\
&\leqslant \frac{\sqrt{2}}{2}\left(\frac{(b-a)^2+(c-b)^2+(c-a)^2+(a+b+c)^2}{4}\right)^2\\
&=\frac{9\sqrt{2}}{32}(a^2+b^2+c^2)^2
\end{aligned}$
于是 $M=\dfrac{9\sqrt{2}}{32}$，且等号成立的充分必要条件 $2b=a+c$，以及
$\dfrac{(b-a)^2+(c-b)^2+(c-a)^2}{3}=(a+b+c)^2$．
解得 $2b=a+c,(c-a)^2=18b^2$．
取 $b=1$，得到 $a=1-\dfrac{3}{2}\sqrt{2}$ 和 $c=1+\dfrac{3}{2}\sqrt{2}$，从而，当 $\left(1-\dfrac{3}{2}\sqrt{2},1,1+\dfrac{3}{2}\sqrt{2}\right)$ 时，等号成立，故 $M=\dfrac{9}{32}\sqrt{2}$．
答案
解析
备注
