设整数 $n\geqslant3$，正实数 ${a}_{1},{a}_{2},\cdots,{a}_{n}$ 满足 ${a}_{2}{a}_{3}\cdots{a}_{n}=1$．证明：${{(1+{{a}_{2}})}^{2}}{{(1+{{a}_{3}})}^{3}}\cdots {{(1+{{a}_{n}})}^{n}}>{{n}^{n}}$．（澳大利亚）
【难度】
【出处】
2012年第53届IMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
由平均值不等式，对 $k=2,3,\cdots,n$，有 $(1+a_k)^k=\left(\dfrac{1}{k-1}+\dfrac{1}{k-1}+\cdots+\dfrac{1}{k-1}+a_k\right)^k\geqslant k^k\cdot\left(\dfrac{1}{k-1}\right)^{k-1}a_k$，所以，
$\begin{aligned}
&(1+a_2)^2(1+a_3)^3\cdots(1+a_n)^ n\\
&\geqslant 2^2a_2\cdot 3^3\left(\dfrac{1}{2}\right)^2a_3\cdot 4^4\left(\dfrac{1}{3}\right)^3a_4\cdot\cdots\cdot n^n\left(\dfrac{1}{n-1}\right)^{n-1}a_n\\
&=n^n
\end{aligned}$
等号在 $a_k=\dfrac{1}{k-1},k=2,\cdots,n$ 时成立，这与 $a_2a_3\cdots
a_n=1$ 矛盾．故
$(1+a_2)^2(1+a_3)^3\cdots (1+a_n)^n>n^n$．
$\begin{aligned}
&(1+a_2)^2(1+a_3)^3\cdots(1+a_n)^ n\\
&\geqslant 2^2a_2\cdot 3^3\left(\dfrac{1}{2}\right)^2a_3\cdot 4^4\left(\dfrac{1}{3}\right)^3a_4\cdot\cdots\cdot n^n\left(\dfrac{1}{n-1}\right)^{n-1}a_n\\
&=n^n
\end{aligned}$
等号在 $a_k=\dfrac{1}{k-1},k=2,\cdots,n$ 时成立，这与 $a_2a_3\cdots
a_n=1$ 矛盾．故
$(1+a_2)^2(1+a_3)^3\cdots (1+a_n)^n>n^n$．
答案
解析
备注
