设 $a_{0}<a_{1}<a_{2}<\ldots$ 是一个正整数的无穷序列．证明存在唯一的整数 $n\geqslant 1$ 使得 $a_{n}<\dfrac{a_{0}+a_{1}+\ldots+a_{n}}{n}\leqslant a_{n+1}$ ①（奥地利）
【难度】
【出处】
2014年第55届IMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
对于 $n=1,2,\ldots$，定义
$
d_{n}=\left(a_{0}+a_{1}+\ldots+a_{n}\right)-n a_{n}
$
$d_n$ 的符号表示了 ① 中的第一个不等式是否成立；该不等式成立等价于 $d_n > 0$．
注意到
$\begin{aligned} & m_{n+1}-\left(a_{0}+a_{1}+\cdots+a_{n}\right) \\=&(n+1) a_{n+1}-\left(a_{0}+a_{1}+\cdots+a_{n}+a_{n+1}\right) \\=&-d_{n+1} \end{aligned}$
从而 ① 中的第二个不等式成立等价于 $d_{n+1}\leqslant O$．这样我们就要证明，存在唯一的一个指标 $n$，使得 $d_n > 0 \geqslant d_{n+1}$．
由定义，序列 $d_1 , d_2 , \ldots$ 的元素都是整数，且
$
d_{1}=\left(a_{0}+a_{1}\right)-1 \cdot a_{1}=a_{0}>0
$
而
$\begin{aligned} & d_{n+1}-d_{n} \\=&\left(\left(a_{0}+a_{1}+\ldots+a_{n}\right)-n a_{n+1}\right)-\left(\left(a_{0}+a_{1}+\ldots+a_{n}\right)-na_{n}\right) \\=& n\left(a_{n}-a_{n+1}\right)<0 \end{aligned}$
这样 $d_{n+1}< d_n$．从而序列 $d_1 , d_2 , \ldots$ 是一个首项为正的严格单调递减的整数序列．从而存在唯一的 $n$ 使得 $d_n > 0 \geqslant d_{n+1}$．
$
d_{n}=\left(a_{0}+a_{1}+\ldots+a_{n}\right)-n a_{n}
$
$d_n$ 的符号表示了 ① 中的第一个不等式是否成立；该不等式成立等价于 $d_n > 0$．
注意到
$\begin{aligned} & m_{n+1}-\left(a_{0}+a_{1}+\cdots+a_{n}\right) \\=&(n+1) a_{n+1}-\left(a_{0}+a_{1}+\cdots+a_{n}+a_{n+1}\right) \\=&-d_{n+1} \end{aligned}$
从而 ① 中的第二个不等式成立等价于 $d_{n+1}\leqslant O$．这样我们就要证明，存在唯一的一个指标 $n$，使得 $d_n > 0 \geqslant d_{n+1}$．
由定义，序列 $d_1 , d_2 , \ldots$ 的元素都是整数，且
$
d_{1}=\left(a_{0}+a_{1}\right)-1 \cdot a_{1}=a_{0}>0
$
而
$\begin{aligned} & d_{n+1}-d_{n} \\=&\left(\left(a_{0}+a_{1}+\ldots+a_{n}\right)-n a_{n+1}\right)-\left(\left(a_{0}+a_{1}+\ldots+a_{n}\right)-na_{n}\right) \\=& n\left(a_{n}-a_{n+1}\right)<0 \end{aligned}$
这样 $d_{n+1}< d_n$．从而序列 $d_1 , d_2 , \ldots$ 是一个首项为正的严格单调递减的整数序列．从而存在唯一的 $n$ 使得 $d_n > 0 \geqslant d_{n+1}$．
答案
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备注
