设 $n\geqslant 3$ 的整数，设 ${t}_{1},{t}_{2},\cdots,{t}_{n}$ 为正实数，且满足
${{n}^{2}}+1>({{t}_{1}}+{{t}_{2}}+\ldots +{{t}_{n}})\left( \dfrac{1}{{{t}_{1}}}+\dfrac{1}{{{t}_{2}}}+\ldots +\dfrac{1}{{{t}_{n}}} \right)$
证明：对满足 $1\leqslant i<j<k\leqslant n$ 的所有整数 $i、j、k$，正实数 ${t}_{i}、{t}_{j}、{t}_{k}$ 总能构成三角形三边长．（韩国）
${{n}^{2}}+1>({{t}_{1}}+{{t}_{2}}+\ldots +{{t}_{n}})\left( \dfrac{1}{{{t}_{1}}}+\dfrac{1}{{{t}_{2}}}+\ldots +\dfrac{1}{{{t}_{n}}} \right)$
证明：对满足 $1\leqslant i<j<k\leqslant n$ 的所有整数 $i、j、k$，正实数 ${t}_{i}、{t}_{j}、{t}_{k}$ 总能构成三角形三边长．（韩国）
【难度】
【出处】
2004年第45届IMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
反设 $t_1,t_2,\cdots,t_n$ 中有三个不构成三角形的三边长，不妨设为 $t_1,t_2,t_3$ 且 $t_1+t_2\leqslant t_3$．因为
$\displaystyle \begin{aligned}
&(t_1+\cdots+t_n)(\dfrac{1}{t_1}+\cdots+\dfrac{1}{t_n})\\
&=\sum_{1\leqslant i<j\leqslant n}(\frac{t_i}{t_j}+\frac{t_j}{t_i})+n\\
&=\frac{t_1}{t_3}+\frac{t_3}{t_1}+\frac{t_2}{t_3}+\frac{t_3}{t_2}+\sum_{1\leqslant i<j\leqslant n, (i,j)\not\in\{(1,3)(2,3)\}}(\frac{t_i}{t_j}+\frac{t_j}{t_i})+n\\
&\geqslant \frac{t_1+t_2}{t_3}+t_3(\frac{1}{t_1}+\frac{1}{t_2})+\sum_{1\leqslant i<j\leqslant n,(i,j)\not\in\{(1,3),(2,3)\}}2+n\\
&\geqslant\frac{t_1+t_2}{t_3}+\frac{4t_3}{t_1+t_2}+2(C_n^2-2)+n\\
&=4\frac{t_3}{t_1+t_2}+\frac{t_1+t_2}{t_3}+n^2-4
\end{aligned}$ ①
设 $x=\dfrac{t_3}{t_1+t_2}$，则 $x\geqslant 1,4x+\dfrac{1}{x}-5=\dfrac{(x-1)(4x-1)}{x}\geqslant 0$．
由 ① 得
$(t_1+\cdots+t_n)(\dfrac{1}{t_1}+\cdots+\dfrac{1}{t_n})\geqslant 5+n^2-4=n^2+1$
矛盾．所以反设不成立，原命题成立．
$\displaystyle \begin{aligned}
&(t_1+\cdots+t_n)(\dfrac{1}{t_1}+\cdots+\dfrac{1}{t_n})\\
&=\sum_{1\leqslant i<j\leqslant n}(\frac{t_i}{t_j}+\frac{t_j}{t_i})+n\\
&=\frac{t_1}{t_3}+\frac{t_3}{t_1}+\frac{t_2}{t_3}+\frac{t_3}{t_2}+\sum_{1\leqslant i<j\leqslant n, (i,j)\not\in\{(1,3)(2,3)\}}(\frac{t_i}{t_j}+\frac{t_j}{t_i})+n\\
&\geqslant \frac{t_1+t_2}{t_3}+t_3(\frac{1}{t_1}+\frac{1}{t_2})+\sum_{1\leqslant i<j\leqslant n,(i,j)\not\in\{(1,3),(2,3)\}}2+n\\
&\geqslant\frac{t_1+t_2}{t_3}+\frac{4t_3}{t_1+t_2}+2(C_n^2-2)+n\\
&=4\frac{t_3}{t_1+t_2}+\frac{t_1+t_2}{t_3}+n^2-4
\end{aligned}$ ①
设 $x=\dfrac{t_3}{t_1+t_2}$，则 $x\geqslant 1,4x+\dfrac{1}{x}-5=\dfrac{(x-1)(4x-1)}{x}\geqslant 0$．
由 ① 得
$(t_1+\cdots+t_n)(\dfrac{1}{t_1}+\cdots+\dfrac{1}{t_n})\geqslant 5+n^2-4=n^2+1$
矛盾．所以反设不成立，原命题成立．
答案
解析
备注
