设 $\mathbf{R}$ 是全体实数的集合，求所有的函数 $f:\mathbf{R}\rightarrow\mathbf{R}$，满足对任意实数 $x,y$，都有 $f(x+f(x+y))+f(xy)=x+f(x+y)+yf(x)$．（阿尔巴尼亚）
【难度】
【出处】
2015年第56届IMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
将题中等式记为 $P(x,y)$．设 $f$ 是满足条件的一个函数．考察 $P(x,1)$，有
$f(x+f(x+1))=x+f(x+1)$ ①
于是对任意实数 $x$，$x+f(x+1)$ 都是 $f$ 的不动点．下面分两种情况讨论．
情形一：$f(0)\neq 0$．
考察 $P(0,y)$，有
$f(f(y))+f(0)=f(y)+yf(0)$
若 $y_0$ 是 $f$ 的不动点，在上式中令 $y=y_0$，可得 $y_0=1$．于是，
$x+f(x+1)=1$
从而 $f(x)=2-x$ 对所有实数 $x$ 成立．容易验证 $f(x)=2-x$ 是满足条件的函数．
情形二：$f(0)=0$．
考察 $P(x+1,0)$，有
$f(x+f(x+1)+1)=x+f(x+1)+1$ ②
考察 $P(1,y)$，有
$f(1+f(y+1))+f(y)=1+f(y+1)+y f(1)$ ③
在 ① 式中令 $x=-1$，有 $f(-1)=-1$．再在 ③ 式中令 $y=-1$，有 $f(1)=1$．于是 ③ 式可以改写为
$f(1+f(y+1))+f(y)=1+f(y+1)+y$ ④
如果 $y_0$ 和 $y_0 +1$ 都是 $f$ 的不动点，在 ④ 式中令 $y=y_0$ 即知，
$y_0 +2$ 也是 $f$ 的不动点．故由 ①，② 式可知，对任意实数 $x$，
$x+f(x+1)+2$ 都是 $f$ 的不动点，即
$f(x+f(x+1)+2)=x+f(x+1)+2$
在上式中将 $x$ 用 $x-2$ 代替，得
$f(x+f(x-1))=x+f(x-1)$
考察 $P(x,-1)$，有
$f(x+f(x-1))=x+f(x-1)-f(x)-f(-x)$
从上面两式可知 $f(-x)=-f(x)$，即 $f$ 是奇函数．
考察 $P(-1,-y)$，并利用 $f(-1)=-1$，有
$f(-1+f(-y-1))+f(y)=-1+f(-y-1)+y$
再由 $f$ 是奇函数，上式可改写为
$-f(1+f(y+1))+f(y)=-1-f(y+1)+y$
将上式与 ④ 式相加，可知 $f(y)=y$ 对所有实数 $y$ 成立．容易验证 $f(x)=x$ 是满足条件的函数．
综上所述，满足条件的函数一共两个，$f(x)=x$ 和 $f(x)=2-x$．
$f(x+f(x+1))=x+f(x+1)$ ①
于是对任意实数 $x$，$x+f(x+1)$ 都是 $f$ 的不动点．下面分两种情况讨论．
情形一：$f(0)\neq 0$．
考察 $P(0,y)$，有
$f(f(y))+f(0)=f(y)+yf(0)$
若 $y_0$ 是 $f$ 的不动点，在上式中令 $y=y_0$，可得 $y_0=1$．于是，
$x+f(x+1)=1$
从而 $f(x)=2-x$ 对所有实数 $x$ 成立．容易验证 $f(x)=2-x$ 是满足条件的函数．
情形二：$f(0)=0$．
考察 $P(x+1,0)$，有
$f(x+f(x+1)+1)=x+f(x+1)+1$ ②
考察 $P(1,y)$，有
$f(1+f(y+1))+f(y)=1+f(y+1)+y f(1)$ ③
在 ① 式中令 $x=-1$，有 $f(-1)=-1$．再在 ③ 式中令 $y=-1$，有 $f(1)=1$．于是 ③ 式可以改写为
$f(1+f(y+1))+f(y)=1+f(y+1)+y$ ④
如果 $y_0$ 和 $y_0 +1$ 都是 $f$ 的不动点，在 ④ 式中令 $y=y_0$ 即知，
$y_0 +2$ 也是 $f$ 的不动点．故由 ①，② 式可知，对任意实数 $x$，
$x+f(x+1)+2$ 都是 $f$ 的不动点，即
$f(x+f(x+1)+2)=x+f(x+1)+2$
在上式中将 $x$ 用 $x-2$ 代替，得
$f(x+f(x-1))=x+f(x-1)$
考察 $P(x,-1)$，有
$f(x+f(x-1))=x+f(x-1)-f(x)-f(-x)$
从上面两式可知 $f(-x)=-f(x)$，即 $f$ 是奇函数．
考察 $P(-1,-y)$，并利用 $f(-1)=-1$，有
$f(-1+f(-y-1))+f(y)=-1+f(-y-1)+y$
再由 $f$ 是奇函数，上式可改写为
$-f(1+f(y+1))+f(y)=-1-f(y+1)+y$
将上式与 ④ 式相加，可知 $f(y)=y$ 对所有实数 $y$ 成立．容易验证 $f(x)=x$ 是满足条件的函数．
综上所述，满足条件的函数一共两个，$f(x)=x$ 和 $f(x)=2-x$．
答案
解析
备注
