试求出所有的实系数多项式 $P(x)$，使得对于所有满足 $ab+bc+ca=0$ 的所有实数 $a、b、c$，都有 $P(a-b)+P(b-c)+P(c-a)=2P(a+b+c)$．（韩国）
【难度】
【出处】
2004年第45届IMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
对任给的 $a,b,c\in\mathbb{R},ab+b+c+ca=0$，有
$P(a-b)+P(b-c)+P(c-a)=2P(a+b+c)$ ①
在 ① 中令 $a=b=c=0$，有 $P(0)=0$．
在 ① 中令 $b=c=0$，有 $P(-a)=P(a)$ 对任给实数 $a$ 成立．
因此 $P(x)$ 的所有奇次项系数为 $0$，不妨设
$P(x)=a_nx^{2n}+\cdots+a_1x^2,a_n\ne 0$．
在（1）中令 $b=2a,c=-\dfrac{2}{3}a$，有
$P(-a)+P\left(\dfrac{8}{3}a\right)+P\left(-\dfrac{5}{3}a\right)=2P\left(\dfrac{7}{3}a\right)$
即
$a_n\left[1+\left(\dfrac{8}{3}\right)^{2n}+\left(\dfrac{5}{3}\right)^{2n}-2\left(\dfrac{7}{3}\right)^{2n}\right]a^{2n}+\cdots+a_1\left[1+\left(\dfrac{8}{3}\right)^2+\left(\dfrac{5}{3}\right)^2-2\left(\dfrac{7}{3}\right)^2\right]a^2=0$
对所有 $a\in\mathbb{R}$ 成立，故关于 $a$ 的多项式的所有系数为 $0$．
当 $n\geqslant 3$ 时，由 $8^6=262144>235298=2\times 7^6$ 知
$\left(\dfrac{8}{7}\right)^{2n}\geqslant\left(\dfrac{8}{7}\right)^6>2$．
从而 $1+\left(\dfrac{8}{3}\right)^{2n}+\left(\dfrac{5}{3}\right)^{2n}-2\left(\dfrac{7}{3}\right)^{2n}>0$
因此 $n\leqslant 2$，设 $P(x)=\alpha x^4+\beta x^2,\alpha,\beta\in\mathbb{R}$．
下面验证 $P(x)=\alpha x^4+\beta x^2$ 满足要求．
设 $a,b,c\in\mathbb{R},ab+bc+ca=0$，则
$\displaystyle \begin{aligned}
&(a-b)^4+(b-c)^4+(c-a)^4-2(a+b+c)^4\\
&=\sum(a^4-4a^3b+6a^2b^2-4ab^3+b^4)-2(a^2+b^2+c^2)^2\\
&=\sum(a^4-4a^3b+6a^2b^2-4ab^3+b^4)-2a^4-2b^4-2c^4-4a^2b^2-4a^2c^2-4b^2c^2\\
&=\sum(-4a^3b+2a^2b^2-4ab^3)\\
&=-4a^2(ab+ca)-4b^2(bc+ab)-4c^2(ca+bc)+2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)\\
&=4a^2bc+4b^2ca+4c^2ab+2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2\\
&=2(ab+bc+ca)^2=0
\end{aligned}$
$\displaystyle \begin{aligned}
&(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2-2(a+b+c)^2\\
&=\sum(a^2-2ab+b^2)-2\sum a^2-4\sum ab\\
&=0
\end{aligned}$
因此 $P(x)=\alpha x^4+\beta x^2$ 满足要求．
$P(a-b)+P(b-c)+P(c-a)=2P(a+b+c)$ ①
在 ① 中令 $a=b=c=0$，有 $P(0)=0$．
在 ① 中令 $b=c=0$，有 $P(-a)=P(a)$ 对任给实数 $a$ 成立．
因此 $P(x)$ 的所有奇次项系数为 $0$，不妨设
$P(x)=a_nx^{2n}+\cdots+a_1x^2,a_n\ne 0$．
在（1）中令 $b=2a,c=-\dfrac{2}{3}a$，有
$P(-a)+P\left(\dfrac{8}{3}a\right)+P\left(-\dfrac{5}{3}a\right)=2P\left(\dfrac{7}{3}a\right)$
即
$a_n\left[1+\left(\dfrac{8}{3}\right)^{2n}+\left(\dfrac{5}{3}\right)^{2n}-2\left(\dfrac{7}{3}\right)^{2n}\right]a^{2n}+\cdots+a_1\left[1+\left(\dfrac{8}{3}\right)^2+\left(\dfrac{5}{3}\right)^2-2\left(\dfrac{7}{3}\right)^2\right]a^2=0$
对所有 $a\in\mathbb{R}$ 成立，故关于 $a$ 的多项式的所有系数为 $0$．
当 $n\geqslant 3$ 时，由 $8^6=262144>235298=2\times 7^6$ 知
$\left(\dfrac{8}{7}\right)^{2n}\geqslant\left(\dfrac{8}{7}\right)^6>2$．
从而 $1+\left(\dfrac{8}{3}\right)^{2n}+\left(\dfrac{5}{3}\right)^{2n}-2\left(\dfrac{7}{3}\right)^{2n}>0$
因此 $n\leqslant 2$，设 $P(x)=\alpha x^4+\beta x^2,\alpha,\beta\in\mathbb{R}$．
下面验证 $P(x)=\alpha x^4+\beta x^2$ 满足要求．
设 $a,b,c\in\mathbb{R},ab+bc+ca=0$，则
$\displaystyle \begin{aligned}
&(a-b)^4+(b-c)^4+(c-a)^4-2(a+b+c)^4\\
&=\sum(a^4-4a^3b+6a^2b^2-4ab^3+b^4)-2(a^2+b^2+c^2)^2\\
&=\sum(a^4-4a^3b+6a^2b^2-4ab^3+b^4)-2a^4-2b^4-2c^4-4a^2b^2-4a^2c^2-4b^2c^2\\
&=\sum(-4a^3b+2a^2b^2-4ab^3)\\
&=-4a^2(ab+ca)-4b^2(bc+ab)-4c^2(ca+bc)+2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)\\
&=4a^2bc+4b^2ca+4c^2ab+2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2\\
&=2(ab+bc+ca)^2=0
\end{aligned}$
$\displaystyle \begin{aligned}
&(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2-2(a+b+c)^2\\
&=\sum(a^2-2ab+b^2)-2\sum a^2-4\sum ab\\
&=0
\end{aligned}$
因此 $P(x)=\alpha x^4+\beta x^2$ 满足要求．
答案
解析
备注
