求所有的函数 $f:(0,+\infty)\rightarrow(0,+\infty)$，满足对所有的正实数 $w,x,y,z$，$wx=yz$，都有 $\dfrac{(f(w))^{2}+(f(x))^{2}}{f(y^{2})+f(z^{2})}=\dfrac{w^{2}+x^{2}}{y^{2}+z^{2}}$（韩国）
【难度】
【出处】
2008年第49届IMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
令 $w=x=y=z=1$，得 $(f(1))^2=f(1)$，所以 $f(1)=1$．
对任意 $t>0$，令 $w=t,x=1,y=z=\sqrt{t}$，得
$\dfrac{(f(t))^2+1}{2f(t)}=\dfrac{t^2+1}{2t}$
去分母整理得 $(tf(t)-1)(f(t)-t)=0$
所以，对每个 $t>0$，$f(t)=t$，或者 $f(t)=\dfrac{1}{t}$ ①
若存在 $b,c\in(0,+\infty)$，使得 $f(b)\ne b,f(c)\ne \dfrac{1}{2}$，则由 ① 知，$b,c$ 都不等于 $1$，且 $f(b)=\dfrac{1}{b},f(c)=c$．令 $w=b,x=c,y=z=\sqrt{bc}$，则 $\dfrac{\frac{1}{b^2}+c^2}{2f(bc)}=\dfrac{b^2+c^2}{2bc}$
所以 $f(bc)=\dfrac{c+b^2c^3}{b(b^2+c^2)}$．
因为 $f(bc)=bc$，或者 $f(bc)=\dfrac{1}{bc}$．若 $f(bc)=bc$，则
$bc=\dfrac{c+b^2c^3}{b(b^2+c^2)}$
得 $b^4c=c,b=1$，矛盾!若 $f(bc)=\dfrac{1}{bc}$，则
$\dfrac{1}{bc}=\dfrac{c+b^2c^3}{b(b^2+c^2)}$
得 $b^2c^4=b^2,c=1$，矛盾!
所以，或者 $f(x)=x,x\in(0,+\infty)$，或者 $f(x)=\dfrac{1}{x},x\in(0,+\infty)$．
经检验，$f(x)=x,x\in(0,+\infty)$ 和 $f(x)=\dfrac{1}{x},x\in(0,+\infty)$ 都满足要求．
对任意 $t>0$，令 $w=t,x=1,y=z=\sqrt{t}$，得
$\dfrac{(f(t))^2+1}{2f(t)}=\dfrac{t^2+1}{2t}$
去分母整理得 $(tf(t)-1)(f(t)-t)=0$
所以，对每个 $t>0$，$f(t)=t$，或者 $f(t)=\dfrac{1}{t}$ ①
若存在 $b,c\in(0,+\infty)$，使得 $f(b)\ne b,f(c)\ne \dfrac{1}{2}$，则由 ① 知，$b,c$ 都不等于 $1$，且 $f(b)=\dfrac{1}{b},f(c)=c$．令 $w=b,x=c,y=z=\sqrt{bc}$，则 $\dfrac{\frac{1}{b^2}+c^2}{2f(bc)}=\dfrac{b^2+c^2}{2bc}$
所以 $f(bc)=\dfrac{c+b^2c^3}{b(b^2+c^2)}$．
因为 $f(bc)=bc$，或者 $f(bc)=\dfrac{1}{bc}$．若 $f(bc)=bc$，则
$bc=\dfrac{c+b^2c^3}{b(b^2+c^2)}$
得 $b^4c=c,b=1$，矛盾!若 $f(bc)=\dfrac{1}{bc}$，则
$\dfrac{1}{bc}=\dfrac{c+b^2c^3}{b(b^2+c^2)}$
得 $b^2c^4=b^2,c=1$，矛盾!
所以，或者 $f(x)=x,x\in(0,+\infty)$，或者 $f(x)=\dfrac{1}{x},x\in(0,+\infty)$．
经检验，$f(x)=x,x\in(0,+\infty)$ 和 $f(x)=\dfrac{1}{x},x\in(0,+\infty)$ 都满足要求．
答案
解析
备注
