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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
18340 5c8745cc210b28428f14d69e 高中 解答题 自招竞赛 求证：不存在函数 $f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$，此处 $\mathbb{N}=\{0,1,2,\cdots\}$，使得对所有 $ n\in\mathbb{N} $，都有 $ f(f(n))=n+1987$．（越南） 2022-04-17 19:30:40
18338 5c874b86210b28428f14d6b0 高中 解答题 自招竞赛 在平面上给定点 $P_0$ 和 $\triangle {A}_{1}{A}_{2}{A}_{3}$ 且约定当 $s\geqslant 4$ 时，${A}_{s}={A}_{s-3}$．构造点列 ${P}_{0},{P}_{1},{P}_{2},\cdots,$ 使得 ${P}_{k+1}$ 为点 ${P}_{k}$ 绕中心 ${A}_{k+1}$ 顺时针旋转 $120^\circ$ 所到达的位置，$k=0,1,2,\cdots$．求证：如果 ${P}_{1986}={P}_{0}$，那么 $\triangle {A}_{1}{A}_{2}{A}_{3}$ 为等边三角形．（中国） 2022-04-17 19:29:40
18334 5c874b9b210b28428f14d6bd 高中 解答题 自招竞赛 设 $f$ 是定义在非负实数集上且在其中取值的函数，也为非负实数，求所有满足下列条件的 $f$：
（1）$f(xf(y))f(y)=f(x+y)$；
（2）$f(2)=0$；
（3）$f(x)≠0$，当 $0\leqslant x<2$ 时．（英国）		 2022-04-17 19:27:40
18330 5c874d9d210b28428f14d6d2 高中 解答题 自招竞赛 对任意整系数多项式 $P(x)={a}_{0}+{a}_{1}x+…+{a}_{k}{x}^{k}$．用 $W(P)$ 表示 $P(x)$ 中系数为奇数的个数，考虑多项式 ${Q}_{i}(x)={(1+x)}^{i},i=0,1,2,\cdots$
如果 ${i}_{1},{i}_{2},\cdots,{i}_{n}$ 都是整数且 $0\leqslant {i}_{1}<{i}_{2}<\cdots<{i}_{n}$，求证：$W({{Q}_{{{i}_{1}}}}+{{Q}_{{{i}_{2}}}}+\cdots +{{Q}_{{{i}_{n}}}})\geqslant W({{Q}_{{{i}_{1}}}})$．（荷兰）		 2022-04-17 19:24:40
18323 5c874dad210b284290fc2c45 高中 解答题 自招竞赛 对任一实数 ${x}_{1}$，按如下方式构造序列 ${x}_{1},{x}_{2},\cdots,{{x}_{n+1}}={{x}_{n}}\left({{x}_{n}}+\dfrac{1}{n}\right),n=1,2,\cdots$．求证：恰好存在一个值 $ {x}_{1} $，使得对一切正整数 $ n $，都有 $ 0<{x}_{n}<{x}_{n+1}<1$．（瑞典） 2022-04-17 19:20:40
18322 5c875185210b284290fc2c52 高中 解答题 自招竞赛 已知 $x、y、z$ 是非负实数，且 $x+y+z=1$．求证：$0\leqslant yz+zx+xy-2xyz\leqslant \dfrac{7}{27}$．（联邦德国） 2022-04-17 19:20:40
18316 5c875692210b28428f14d6ef 高中 解答题 自招竞赛 试求满足条件：
（1）$f(xf(y))= yf(x)$；
（2）当 $x\rightarrow \infty$ 时，$f(x)\rightarrow 0$ 的所有定义在正实数集上且在其中取值的函数 $f(x)$．（英国）		 2022-04-17 19:18:40
18289 5c875a62210b284290fc2c85 高中 解答题 自招竞赛 设函数 $f(n)$ 是定义在正整数集上，并取非负整数值的函数，$f(2)=0,f(3)>0,f(9999)=3333$，且对所有 $m、n$ 均有 $f(m+n)-f(m)-f(n)=0$ 或 $1$．求 $f(1982)$ 的值．（英国） 2022-04-17 19:03:40
18251 5c875a6f210b28428f14d70b 高中 解答题 自招竞赛 无穷正实数数列 $\{{x}_{n}\}$ 具有如下性质：${x}_{0}=1,{x}_{i+1}\leqslant {x}_{i},i=0,1,2,\cdots$
（1）求证：：对于具有上述性质的任一数列，都存在一个 $n\geqslant 1$，使得 $\dfrac{x_{0}^{2}}{{{x}_{1}}}+\dfrac{x_{1}^{2}}{{{x}_{2}}}+\cdots +\dfrac{x_{n-1}^{2}}{{{x}_{n}}}\geqslant 3.999$；
（2）求出一个这样的数列，使对所有 $n\geqslant 1$，均有 $\dfrac{x_{0}^{2}}{{{x}_{1}}}+\dfrac{x_{1}^{2}}{{{x}_{2}}}+\cdots +\dfrac{x_{n-1}^{2}}{{{x}_{m}}}<4$．（苏联）		 2022-04-17 19:44:39
18239 5c87641c210b28428f14d732 高中 解答题 自招竞赛 函数 $f(x,y)$ 对于所有的非负整数 $x,y$，满足条件
（1）$f(0,y)= y+1$；
（2）$f(x+1,0)= f(x,1)$；
（3）$f(x+1,y+1)=f(x,f(x+1,y))$ 。
试确定 $f(4,1981)$．（芬兰）		 2022-04-17 19:37:39
18235 5c876790210b28428f14d73e 高中 解答题 自招竞赛 求出所有实数 $a$，使得存在非负实数 ${x}_{1},{x}_{2},{x}_{3},{x}_{4},{x}_{5}$ 满足关系式 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{5}{k{{x}_{k}}=a},\sum\limits_{k=1}^{5}{{{k}^{3}}{{x}_{k}}={{a}^{2}}},\sum\limits_{k=1}^{5}{{{k}^{5}}{{x}_{k}}={{a}^{3}}}$．（以色列） 2022-04-17 19:35:39
18233 5c876797210b284290fc2cc5 高中 解答题 自招竞赛 $A$ 和 $E$ 为正八边形的一组相对顶点．一只青蛙从 $A$ 点开始跳跃，如果青蛙在任一个不是 $E$ 的顶点，那么它可以跳到两个相邻顶点中的任一个，当它跳到 $E$ 点 时就停在那里，设 ${e}_{n}$ 为经过 $n$ 步达到 $E$ 点的不同路线的条数．求证：${e}_{2n-1}=0$，
${{e}_{2n}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}({{x}^{n-1}}-{{y}^{n-1}}),n=1,2,3,\cdots $，其中 $x=2+\sqrt{2},y=2-\sqrt{2}$．
注意：一个 $n$ 步的路线是指顶点的一个序列 $({P}_{0},P_1\cdots,{P}_{n})$ 满足：
（1）${P}_{0}=A,{P}_{n}=E$；
（2）对每个 $i(0\leqslant i\leqslant n-1),{P}_{i}\ne E$；
（3）对每个 $i(0\leqslant i\leqslant n-1)$，${P}_{i}$ 与 ${P}_{i+1}$ 是正八边形的相邻顶点．（联邦德国）		 2022-04-17 19:34:39
18230 5c876c09210b28428f14d74e 高中 解答题 自招竞赛 设 $f,g:\mathbb{N}^{\ast}\rightarrow \mathbb{N}^{\ast}$ 是严格递增函数，且 $f(\mathbb{N}^{\ast})\bigcup g(\mathbb{N}^{\ast})=\varnothing,g(n)=f(f(n))+1$．求 $f(240)$．（英国） 2022-04-17 19:32:39
18227 5c876c2f210b28428f14d759 高中 解答题 自招竞赛 已知 ${{a}_{1}},a_2,\cdots,a_k,\cdots$ 为两两不同的正整数，求证：对任何正整数 $n$ 有不等式：$\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{{{a}_{k}}}{{{k}^{2}}}}\geqslant \sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{1}{k}}$．（法国） 2022-04-17 19:29:39
18223 5c87745e210b28428f14d765 高中 解答题 自招竞赛 在一个有限项的实数列中，任意 $7$ 个连续项之和都是负数，而任意连续 $11$ 项之和都是正数．试问：这样的数列最多能有多少项？（越南） 2022-04-17 19:27:39
18221 5c877469210b28428f14d770 高中 解答题 自招竞赛 设 $a,b,A,B$ 为已知实数，$f(\theta )=1-a\cos \theta -b\sin \theta -A\cos 2\theta -B\sin 2\theta $．求证：如果对于一切实数 $\theta,f(\theta)\geqslant 0$，那么有 ${a}^{2}+{b}^{2}\leqslant 2,{A}^{2}+{B}^{2}\leqslant1$．（英国） 2022-04-17 19:26:39
18219 5c877477210b284290fc2cec 高中 解答题 自招竞赛 设 $f(n)$ 是定义在正整数集上的函数，并且所取得的函数值也在正整数集中．求证：如果对于每一个正整数 $n$，$f(n+1)>f[f(n)]$ 都成立，那么 $f(n)=n$ 对每一个 $n$ 值都成立．（保加利亚） 2022-04-17 19:25:39
18217 5c8776e7210b28428f14d788 高中 解答题 自招竞赛 设 ${P}_{1}(x)={x}^{2}-2,{P}_{i}(x)={P}_{1}[{P}_{i-1}(x)],i=2,3,4,\cdots$．求证：对任何正整数 $n$，方程 ${P}_{n}(x)=x$ 的全部解是互不相同的实数．（芬兰） 2022-04-17 19:25:39
18210 5c8776fa210b284290fc2cf8 高中 解答题 自招竞赛 已知含 $q=2p$ 个未知数的 $p$ 个方程组成的方程组：
$\begin{cases}
& {{a}_{11}}{{x}_{1}}+{{a}_{12}}{{x}_{2}}+\cdots +{{a}_{1q}}{{x}_{q}}=0 \\
& {{a}_{21}}{{x}_{1}}+{{a}_{22}}{{x}_{2}}+\cdots +{{a}_{2q}}{{x}_{q}}=0 \\
& \cdots\cdots \\
& {{a}_{p1}}{{x}_{1}}+{{a}_{p2}}{{x}_{2}}+\cdots +{{a}_{pq}}{{x}_{q}}=0 \\
\end{cases}$ ①
其中 ${a}_{ij}\in\{-1,0,1\},i=1,2,\cdots,p;j=1,2,\cdots,q$．
求证：方程组 ① 有一个具有下述性质的解 $({x}_{1},{x}_{2},\cdots,{x}_{q})$：
$(a)$ ${x}_{j}(j=1,2,\cdots,q)$ 都是整数；
$(b)$ 至少有一个 $x_j(1\leqslant j\leqslant q)$ 不等于零；
$(c)$ $\left| {{x}_{j}} \right|\leqslant q(j=1,2,\ldots ,q)$．（荷兰）		 2022-04-17 19:20:39
18209 5c8776ff210b284290fc2cfd 高中 解答题 自招竞赛 设数列 ${u}_{0},u_1,u_2,\cdots$ 定义如下：${{u}_{0}}=2,{{u}_{1}}=\dfrac{5}{2},{{u}_{n+1}}={{u}_{n}}(u_{n-1}^{2}-2)-{{u}_{1}}$，$n=1,2,\cdots$．
求证：$\left[ {{u}_{n}} \right]={{2}^{\frac{{{2}^{n}}-{{\left( -1 \right)}^{n}}}{3}}},n=1,2,\cdots$，这里 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数．（英国）		 2022-04-17 19:19:39
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